사당동 고3수학과외에서 다룬 몫의 미분법과 부호 변화
사당동에서 공부하는 고3 학생은 동작고등학교 내신 일정과 주간 자습 시간을 함께 조정하며, 곱과 합성함수가 포함된 몫의 미분 문제를 풀었다. 같은 동작구의 성남고등학교, 수도여자고등학교, 경문고등학교, 숭의여자고등학교는 참고할 수 있는 학교이지만, 학교별 수업 일정과 학습량은 다르게 관리해야 한다.
경계가 바뀌면 부호부터 다시 확인하기
다음 함수를 구간별로 분석하는 문제였다.
f(x)=\dfrac{(x+1)(x-2)}{(x-3)^2+1}
분자를 먼저 정리하면
(x+1)(x-2)=x2-x-2
따라서
f'(x)=\dfrac{(2x-1)((x-3)^2+1)-(x^2-x-2)\cdot2(x-3)}{\{(x-3)^2+1\}^2}
학생은 이전 문제의 부호 배열을 그대로 적용해 x=1을 기준으로 정리하면서 다음과 같이 썼다.
학생의 오답: f'(x)=\dfrac{(2x-1)((x-3)^2+1)+(x^2-x-2)\cdot2(x-3)}{\{(x-3)^2+1\}^2}
이 식은 틀렸다. 몫의 미분법은 (분자 미분×분모)-(분자×분모 미분)이므로 두 번째 항 앞에는 반드시 마이너스가 와야 한다. 또한 경계값이 x=1에서 x=2로 바뀌었다면 기존 부호 패턴을 재사용할 것이 아니라, 새 구간의 함수값과 도함수 부호를 다시 계산해야 한다.
오류 줄을 표시하고 구조를 다시 세운 과정
- 오류 표시: 두 번째 항의 ‘+’에 밑줄을 긋고 몫의 미분법 순서를 왼쪽 여백에 적는다.
- 관계 확인: u=(x+1)(x-2), v=(x-3)2+1로 두면 u'=2x-1, v'=2(x-3)이다.
- 식 수정: f'(x)=(u'v-uv')/v2를 적용한다.
- 전개 검산: 분자의 분자를 계산하면 (2x-1)((x-3)2+1)-2(x-3)(x2-x-2) =-x2+12x-5이다.
- 대입 검산: x=0에서 f'(0)=-5/100=-1/20이므로 수정된 식과 일치한다.
따라서 정확한 도함수는
f'(x)=\dfrac{-x2+12x-5}{\{(x-3)^2+1\}^2}
이다. 분모는 항상 양수이므로 도함수의 부호는 -x2+12x-5의 부호로 결정된다. 부호가 바뀌는 지점은
x=6±√31
이며, 이 값을 기준으로 증가와 감소 구간을 새로 나눠야 한다. 분모가 합성함수로 바뀌었을 때도 v'=2(x-3)을 빠뜨리지 않는 것이 핵심이다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않기 위해 다음 문제로 확인했다.
g(x)=\dfrac{(2x-1)(x+3)}{(x-4)^3+2}
u=(2x-1)(x+3)이므로 u'=4x+5이고, v=(x-4)3+2이므로 v'=3(x-4)2이다. 따라서
g'(x)=\dfrac{(4x+5)\{(x-4)^3+2\}-3(x-4)^2(2x-1)(x+3)}{\{(x-4)^3+2\}^2}
이다. x=4를 대입하면 분자는 (21)(2)-0=42, 분모는 4이므로 g'(4)=21이다. 분모의 합성 구조와 계수가 달라져도 u'v-uv'의 관계를 먼저 확인하면 이전 부호를 기계적으로 재사용하지 않고 정확히 검증할 수 있다.