사당동고1수학과외, 판별식의 부호와 근 계산을 나누어 보기
동작고등학교 학교 프린트의 이차방정식 문제를 풀 때는 판별식 값을 구하는 줄과 근의 공식을 적용하는 줄을 분리해야 한다. 사당동에서 학교 수업과 귀가 후 학습 시간이 맞물리는 주간에는 풀이를 빨리 끝내려다 이 두 판단을 한 줄로 처리하는 경우가 자주 관찰된다.
−16으로 바뀐 판별식
다음 방정식을 풀어 보자.
x2 − 6x + 5 = 0
이 식에서 a=1, b=−6, c=5이다. 한 학생은 판별식을 다음처럼 적었다.
D=(−6)2−4×1×5=36−20=−16
따라서 실근이 없다.
틀린 부분은 36−20을 −16으로 계산한 줄이다. 판별식은
D=b2−4ac=(−6)2−4×1×5=36−20=16
이므로 D>0이다. 따라서 서로 다른 두 실근이 존재한다. 그 다음에야 근의 공식을 적용한다.
x=−b±√D
2a =6±√16
2 =6±4
2
따라서 x=5 또는 x=1이다. 판별식의 부호는 계산 결과를 장식하는 표시가 아니라 실근의 개수를 결정하는 근거다. D>0이면 서로 다른 두 실근, D=0이면 중근 하나, D<0이면 실수 범위에서 근이 없다.
계산 줄과 판단 줄을 분리하는 기록
이 학생에게는 풀이 시작 전에 다음 한 줄을 먼저 적게 했다.
판별식 계산과 근 계산을 분리해 부호 오류 찾기
그 뒤 실제 답안에서는 판별식 옆에 결과와 의미를 함께 기록한다.
- D=16>0 → 서로 다른 두 실근
- √D=4 → 근의 공식에 대입
- x=(6±4)/2 → x=5, 1
이렇게 쓰면 D를 계산하고도 실근의 개수를 판단하지 않은 채 바로 근의 공식으로 넘어가는 빈틈이 드러난다. 부호를 잘못 계산했다면 근 계산을 진행하기 전에 해당 줄을 다시 확인할 수 있다.
정답보다 먼저 확인할 식·근거·결론
판별식이 0인 경우와 비교하면 판단의 연결이 더 분명해진다.
2x2−12x+18=0
여기서는 a=2, b=−12, c=18이므로
D=(−12)2−4×2×18=144−144=0
이다. 따라서 실근은 두 개가 아니라 중근 하나이며, 근은
x=12÷4=3
이다. 답만 3이라고 적는 것보다 ‘D=0이므로 중근’이라는 근거를 함께 남겨야 판별식의 부호를 실제 판단에 사용한 것으로 볼 수 있다.
표현이 바뀐 학교 프린트에서 확인하기
같은 방정식을 반복하지 않고, 교과서와 표현이 다른 서술형 문제로 확인한다.
방정식 3x2+2x−1=0의 실근의 개수를 판별식으로 판단하고, 실근을 구하여라.
식·근거·결론을 각각 확인하면 다음과 같다.
- 식: D=22−4×3×(−1)=4+12=16
- 근거: D>0이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
- 결론: x=(−2±4)/6이므로 x=1/3 또는 x=−1이다.
이때 학생이 양의 판별식을 계산하고도 ‘실근이 없다’고 쓰거나, 두 근 중 하나만 적으면 재확인한다. 반대로 판별식의 부호, 실근 개수, 근 계산을 순서대로 스스로 설명했다면 표현이 달라진 문제에서도 해당 판단을 적용한 것으로 볼 수 있다.