본동고2수학과외

반복되는 지수항을 치환해 오답의 발생 줄을 찾는 본동 고2수학과외

“전개를 한 줄 더 하면 풀릴 것 같다”는 풀이가 이어졌지만, 식은 계속 원래 자리로 돌아왔다.

2^2x를 2^x와 따로 계산한 장면

문제는 다음과 같다.

2^2x - 5·2^x + 4 = 0

풀이에서 학생은 2^2x를 먼저 계산할 수 없자 지수법칙을 반복해서 전개했고, 다시 같은 식을 적었다. 이때 잘못된 풀이를 그대로 이어 가면 2^2x와 2^x를 서로 독립적인 항처럼 다루게 된다.

두 항은 독립적이지 않다. 2^2x = (2^x)²이므로 반복되는 지수항을 하나의 문자로 묶어야 한다.

치환한 순간 이차방정식으로 바뀐다

t = 2^x라고 두면 지수의 밑이 2이므로 t는 항상 양수이다.

따라서

t² - 5t + 4 = 0
(t - 1)(t - 4) = 0

t = 1 또는 t = 4이다. 이제 치환을 되돌리면

2^x = 1에서 x = 0,
2^x = 4에서 x = 2

두 값 모두 2^x > 0 조건을 만족한다. 원래 식에 대입해도 x=0에서는 1-5+4=0, x=2에서는 16-20+4=0이므로 해는 x=0, 2이다.

오답 줄에 표시해야 전개로 되돌아가지 않는다

재풀이할 때는 계산을 많이 이어 가는 대신, 반복항이 처음 나타난 줄 옆에 표시한다.

2^2x = (2^x)² → t=2^x, t>0

그 뒤에는 t에 관한 방정식만 해결하고, 마지막에 반드시 2^x=t로 되돌린다. 예를 들어 t=-1 같은 값이 나오면 지수식의 값이 양수라는 조건에 맞지 않으므로 해에서 제외해야 한다. 이 표시가 없으면 틀린 전개가 나온 줄을 찾지 못한 채 같은 계산을 반복하게 된다.

밑과 계수가 바뀌어도 두 후보를 끝까지 확인하기

본동에서 통학 시간과 귀가 후 학습 가능 시간이 학생마다 다를 수 있으므로, 짧은 풀이에서도 치환과 검산을 답안에 남기는 연습이 필요하다. 동작구 내 성남고등학교, 수도여자고등학교, 동작고등학교, 경문고등학교, 숭의여자고등학교 등은 통학권 참고 학교이며 본동 소재 학교로 단정하지 않는다.

다음 식을 풀이한다.

3^2x - 10·3^x + 9 = 0

u=3^x, u>0으로 두면

u² - 10u + 9 = 0
(u - 1)(u - 9) = 0

u=1 또는 u=9이므로 3^x=1에서 x=0, 3^x=9에서 x=2이다. 두 후보를 모두 원래 식에 대입해 각각 0이 되는지 확인해야 한다. 밑이 바뀌어도 반복 지수항을 먼저 묶고, 양수 조건을 적은 뒤, 얻은 후보를 빠짐없이 검산하는 풀이가 유지되는지를 확인할 수 있다.