본동고1수학과외, 근의 공식에 음수 계수를 안전하게 대입하는 법
동작구 본동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 성남고등학교·수도여자고등학교·동작고등학교 등 같은 동작구의 통학권 참고 학교를 기준으로 학습 장면을 생각해 볼 수 있다. 학교와 주거지 사이 이동 시간이 다른 만큼, 짧은 시간에도 풀이 순서를 분명히 세우는 훈련이 필요하다.
부호를 생략하면 공식의 두 위치에서 오류가 난다
이차방정식 ax²+bx+c=0의 근의 공식은 다음과 같다.
x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)
예를 들어 -2x²-5x+3=0에서 계수는 a=-2, b=-5, c=3이다. 그런데 학생이 계수를 따로 적지 않고 공식에 바로 넣으면서 다음처럼 작성했다.
x=(5±√(-5²-4(-2)(3)))/-4
이 식은 학생의 잘못된 대입을 보여 준다. b²를 계산할 때 (-5)²가 되어야 하는데 괄호가 빠져 -5²=-25로 해석되기 때문이다. 분모도 2a=2(-2)=-4처럼 계수의 음수를 분명히 표시해야 한다.
계수표를 먼저 만들고 공식의 각 칸에 넣기
풀이를 다음처럼 시작한다.
- a=-2
- b=-5
- c=3
이제 부호를 포함한 값을 괄호째 대입한다.
x=(-(-5)±√{(-5)²-4(-2)(3)})/{2(-2)}
판별식은 (-5)²-4(-2)(3)=25+24=49이고, 따라서
x=(5±7)/(-4)
이다. 두 근은 x=(5+7)/(-4)=-3, x=(5-7)/(-4)=1/2이다. 실제로 x=-3을 대입하면 -2(9)+15+3=0이고, x=1/2를 대입하면 -2(1/4)-5(1/2)+3=0이므로 둘 다 조건을 만족한다.
오답노트에는 계산 결과보다 바뀐 행동을 남긴다
이 사례에서 기록할 내용은 정답 두 개가 아니다. “a, b, c를 부호까지 따로 적은 뒤, 음수는 괄호째 대입한다”라는 한 가지 행동이다. 특히 공식에 넣기 전 b=-5를 적고, -b=-(-5), b²=(-5)²를 각각 확인하게 한다. 이렇게 하면 같은 음수 b가 공식 안에서 서로 다른 형태로 나타나는 이유도 분명해진다.
불필요한 정보가 섞인 문제에서 첫 행동을 확인하기
훈련 문제로 3x²-4x-4=0과 함께 “그래프가 y축과 만나는 점의 세로좌표는 -4이다”라는 정보를 제시할 수 있다. 근의 공식을 사용할 때 필요한 값은 a=3, b=-4, c=-4이며, 그래프 정보는 별도의 설명일 뿐이다.
학생이 순서를 스스로 정한다면 먼저 계수를 적고,
x=(-(-4)±√{(-4)²-4(3)(-4)})/{2(3)}
라고 근거를 말해야 한다. 판별식은 16+48=64이므로 근은 x=(4±8)/6=2, -2/3이다. 정답만 말하는 대신 “a=3, b=-4, c=-4를 부호 포함해 적은 뒤 공식에 넣었다”라고 먼저 설명하는지가 관찰 기준이다.
짧은 귀가 시간에도 확인할 풀이 언어
본동에서 학교와 집 사이 이동 시간이 긴 학생은 한 문제를 끝까지 많이 풀기보다, 풀이 첫 줄에서 계수와 부호를 말하는 장면을 짧게 점검할 수 있다. 반대로 학습 시간이 비교적 긴 학생은 음수 a와 음수 b가 함께 있는 문제를 골라 대입식과 두 근의 검산까지 이어 간다. 새로운 문제에서 안내 없이 계수를 먼저 적고 계산 근거를 정답보다 앞서 말한다면, 근의 공식 대입 절차를 실제로 적용하고 있는 것으로 볼 수 있다.