본동고3수학과외

본동 생활권 고3 수학과외: 몫의 미분법에서 틀린 한 줄 찾기

본동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 성남고등학교·수도여자고등학교·동작고등학교·경문고등학교·숭의여자고등학교 등 동작구 내 학교를 통학권 참고로 삼았다. 같은 동작구라도 학교와 주거지 사이의 이동 시간에 따라 고3 학생의 자습 리듬은 달라질 수 있다. 이 학생은 짧은 시간에 문제를 많이 풀기보다 풀이 흔적을 다시 확인하는 방식으로 학습을 조정하고 있다.

정답 표시보다 먼저 확인해야 할 미분 규칙

학생은 다음 함수를 미분했다.

f(x) = (2x + 1)/(x² + 3)

분자를 u = 2x + 1, 분모를 v = x² + 3으로 두면

u' = 2,　v' = 2x

이므로 몫의 미분법에 따라

f'(x) = {u'v - uv'}/{v²}

즉, 정확한 식은

f'(x) = {2(x² + 3) - (2x + 1)·2x}/{(x² + 3)²}

분자를 정리하면

f'(x) = {-2x² - 2x + 6}/{(x² + 3)²}

학생의 오답: f'(x) = {2(x² + 3) - (2x + 1)·2x}/{x² + 3}

이 식은 분모의 제곱을 빠뜨린 오답이다. 몫의 미분법에서는 분모 전체가 v²가 되어야 하므로, 단순히 분모의 미분만 계산하거나 원래 분모를 그대로 두면 안 된다. 학생은 오답 표시만 다시 하는 대신, 틀린 줄 옆에 “분모 제곱 누락”이라고 문자 메모를 남겨야 한다.

한 줄만 고친 뒤 원래 식에 대입하기

• 틀린 줄에 밑줄을 긋고 “분모 제곱 누락”이라고 기록한다.
• 분자와 분모를 각각 u, v로 표시해 u'v - uv'와 v²의 관계를 확인한다.
• 분모를 (x² + 3)²로 수정한다.
• x = 0을 대입해 원래 함수의 변화율과 식의 구조를 점검한다.

x = 0에서 수정한 미분식은

f'(0) = 6/9 = 2/3

이다. 실제 함수값은 f(0)=1/3이고, 분자와 분모를 직접 변화시킨 근삿값을 비교해도 이 값의 부호와 크기가 일치한다. 반면 분모 제곱을 빠뜨린 오답은 6/3=2가 되어 원래 함수의 변화율과 맞지 않는다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고, 이번에는 음함수에서 미분 규칙을 점검한다.

x² + xy + y² = 7

양변을 x에 대해 미분하면

2x + y + x(dy/dx) + 2y(dy/dx) = 0

따라서

dy/dx = -(2x + y)/(x + 2y)

점 (1, 2)는 원래 식을 만족한다. 실제로 1+2+4=7이고, 그 점에서의 기울기는

dy/dx = -(2+2)/(1+4) = -4/5

이다. 학생은 분모를 제곱하는 기계적 기억에 머물지 않고, 새 조건에서는 y도 함수라는 점과 곱의 미분법을 확인한 뒤, 점을 원래 식에 대입해 해가 맞는지 검증한다. 이렇게 규칙이 바뀐 문제에서도 누락된 항이나 잘못된 부호를 스스로 제거할 수 있어야 한다.