동작동고2수학과외

동작동 고2수학과외: 반복 지수항을 치환하기 전 확인할 조건

동작동에서 경문고등학교와 동작구 내 참고 학교의 고2 수학 과제를 함께 살펴보면, 귀가 후 풀이 시간이 짧을수록 식을 보자마자 전개부터 시작하는 장면이 나타난다. 그러나 지수방정식에서는 계산보다 먼저 반복되는 지수항이 같은 밑으로 정리되는지 판단해야 한다.

2^x를 하나의 문자로 읽어야 하는 식

다음 식을 보자.

2^2x − 5·2^x + 4 = 0

오답표에는 이 식을 전개하려고 하면서 2^x를 별도의 항으로만 계산한 풀이가 남아 있었다. 이때 먼저 확인할 관계는

2^2x = (2^x)²

이다. 따라서 반복되는 기호를 t = 2^x로 두면 식은

t² − 5t + 4 = 0

가 된다. 인수분해하면

(t − 1)(t − 4) = 0

이므로 t=1 또는 t=4이다. 하지만 t=2^x이므로 반드시 t>0이어야 하며, 두 값 모두 허용된다.

2^x=1에서 x=0, 2^x=4에서 x=2를 얻는다. 따라서 해는 x=0, 2이다. 치환은 아무 지수항에나 적용하는 기술이 아니라, 같은 밑과 반복되는 지수 구조가 확인될 때만 성립한다.

밑을 통일할 수 있는지 한 줄로 표시하기

풀이를 시작하기 전 답안 위쪽에 다음처럼 적게 한다.

반복항: 2^x, 2^2x=(2^x)², t=2^x>0

이 한 줄은 치환 기호의 뜻과 성립 범위를 동시에 보여준다. 기호 t를 정한 뒤에는 원래 식에서 2^x가 있는 자리만 t로 바꾸고, 2^2x는 t²로 바꾼다. 치환 뒤 얻은 근이 음수라면 2^x>0에 맞지 않으므로 원래 방정식의 해가 될 수 없다.

계수의 위치가 달라져도 구조를 다시 찾는지 확인하기

다음 식에서는 앞 문제의 숫자와 계수 위치가 달라진다.

3^2x − 4·3^x + 3 = 0

이번에도 3^2x=(3^x)²이므로 t=3^x>0로 두면

t² − 4t + 3 = 0

(t−1)(t−3)=0에서 t=1 또는 t=3을 얻는다. 두 값은 모두 양수이므로 3^x=1, 3^x=3에 따라 해는 x=0, 1이다.

이때 식을 전개할지 여부보다 먼저 밑과 반복 지수항을 확인하고, 치환한 문자의 범위 t>0을 끝까지 유지했는지가 풀이의 기준이 된다.