동작동고3수학과외

동작동 고3 수학과외: 몫의 미분에서 분자 순서를 바로잡는 연습

동작동에서 귀가 후 과제와 시험 준비를 함께 점검하던 고3 학생의 답안에서, 몫의 미분을 적용할 때마다 분자의 순서를 뒤집는 오류가 반복되었다. 경문고등학교가 동작동 지역 내 고등학교로 확인되며, 동작구의 동작고·성남고·수도여고·숭의여고는 같은 구의 참고 학교로 구분해 보았다. 학교 이름보다 실제로는 귀가 시각 이후 확보되는 공부 시간과 과제 처리 순서를 먼저 확인했다.

함수의 구조와 정의역부터 확인하기

학생은 다음 함수를 미분하면서 분자와 분모를 각각 미분한 뒤 순서를 정했다.

y = (x²+1)/(x-2)

이 함수는 분모가 0이 되면 정의되지 않으므로 x ≠ 2에서 미분해야 한다. 몫의 미분법은

(f/g)' = (g f' - f g')/g²

이다. 여기서 먼저 f=x²+1, g=x-2로 두면

f'=2x,　g'=1

이므로

y' = {(x-2)·2x - (x²+1)·1}/{(x-2)²}

= (2x²-4x-x²-1)/(x-2)²

= (x²-4x-1)/(x-2)²

실제 오답에서 확인한 부호 문제

학생의 오답: (f/g)' = (f g' - g f')/g²

따라서 학생은

y' = {(x²+1)·1 - (x-2)·2x}/{(x-2)²}

= (-x²+4x+1)/(x-2)²

이라고 적었다. 이 식은 정답의 분자 전체에 음수를 붙인 형태이므로 몫의 미분 공식에서 분자 순서를 뒤집은 명백한 오답이다. 분모의 제곱은 순서가 바뀌어도 같지만, 분자에서는 g f' - f g'와 f g' - g f'가 서로 반대 부호가 된다.

틀린 줄을 표시하고 식을 다시 세우는 과정

• 틀린 줄 표시: f g' - g f'를 사용한 부분에 밑줄을 긋는다.
• 변수 관계 확인: 분자는 ‘분모×분자 미분 − 분자×분모 미분’ 순서임을 말로 확인한다.
• 식 수정: (x-2)·2x − (x²+1)·1로 다시 쓴다.
• 대입 검산: x=0을 대입하면 원래 함수의 도함수는 −1이어야 한다. 수정식은 (0−0−1)/4 = −1이다.
• 역검산: f/g = x+2+5/(x−2)로 나누어 쓰면 도함수는 1−5/(x−2)²이다. 이를 통분하면 (x²−4x−1)/(x−2)²가 되어 같은 결과를 얻는다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 식을 반복하지 않고 다음 함수로 다시 확인했다.

h(x) = (3x−1)/(x²+2),　x∈ℝ

분자와 분모를 각각 u=3x−1, v=x²+2로 두면

u'=3,　v'=2x

따라서

h'(x) = {(x²+2)·3 − (3x−1)·2x}/{(x²+2)²

= (3x²+6−6x²+2x)/(x²+2)²

= (−3x²+2x+6)/(x²+2)²

이번에는 분모가 항상 양수라 정의역 누락 문제는 없지만, 분자 순서를 바꾸면 전체 부호가 달라진다. 학생은 x=1을 대입해 수정식의 값이 5/9인지 확인하고, 반대로 순서를 뒤집었을 때 −5/9가 되어 오답임을 검증했다.