동작동고1수학과외, 완전제곱식의 가운데항으로 이차방정식 풀기
동작동에서 귀가 후 학교 과제를 정리할 때, 이차방정식의 해를 구하는 순서를 알고도 완전제곱식으로 바꾸는 줄에서 멈추는 경우가 있다. 특히 양끝 항만 보고 풀이를 진행하면 가운데항이 실제로 제곱식의 조건을 만족하는지 놓치기 쉽다.
양끝 항만으로는 완전제곱식이 되지 않는다
예를 들어 다음 방정식을 보자.
x2 + 6x - 7 = 0
양끝의 x2와 상수항만 표시한 뒤 가운데항 확인을 미루면, 풀이의 중심 조건이 빠진다. 완전제곱식은 다음 관계를 모두 만족해야 한다.
(x+a)2 = x2 + 2ax + a2
따라서 x2 + 6x를 완전제곱식으로 만들 때는 양끝 제곱근이 각각 x, 3인지 확인하고, 가운데항이 2·x·3 = 6x인지도 확인해야 한다.
세 칸으로 나누어 식의 조건을 확인하기
풀이를 다음처럼 나누어 적으면 가운데항을 뒤로 미루는 행동을 줄일 수 있다.
- 첫 번째 제곱근: x2 → x
- 가운데항 확인: 2·x·3 = 6x
- 마지막 제곱근: 32 = 9
상수항을 맞추기 위해 양변에 9를 더하면
x2 + 6x + 9 = 16
즉,
(x+3)2 = 16
이제 양변에 제곱근을 취할 때는 두 경우를 모두 써야 한다.
x+3 = ±4
따라서 x=1 또는 x=-7이다. 실제로 원래 식에 대입하면 각각 1+6-7=0, 49-42-7=0이므로 두 해가 모두 확인된다.
여백에 남겨야 할 한 줄
해당 유형에서 자주 보이는 행동은 양끝 항에만 표시하고, 여백에는 완전제곱식의 가운데항을 확인한 흔적을 남기지 않는 것이다. 이 상태는 공식을 전혀 모르는 것보다, 완전제곱식의 구조를 부분적으로만 사용하고 있는 단계에 가깝다.
따라서 풀이 옆에 “양끝 제곱근은 x와 3, 가운데항은 2·x·3=6x”라고 한 문장을 적게 한다. 계산을 빨리 진행하는 대신 어느 줄에서 완전제곱식 조건을 확인했는지가 보이도록 하는 방식이다.
조건이 추가된 문장제로 오류 위치 찾기
다음 문제에서는 중간식을 생략하지 않고 기록하게 한다.
어떤 수를 x라 할 때, 그 수의 제곱과 그 수의 6배의 합에서 7을 뺀 값이 0이다. 이 수를 구하여라.
식은 x2+6x-7=0이다. 학생이 잘못하여 (x+3)2=7이라고 썼다면, 오류는 상수항을 맞추는 과정에서 발생했다. 정확한 중간식은
x2+6x-7=0
x2+6x+9=16
(x+3)2=16
이다. 학생이 이 세 줄을 유지하면 가운데항 확인 누락인지, 양변에 더한 수를 잘못 옮긴 것인지 스스로 오류가 시작된 줄을 찾아 수정할 수 있다. 마지막에는 “가운데항이 2ab인지 확인하지 않아 완전제곱식 전환에서 멈췄다”처럼 막힌 지점을 한 문장으로 표현하게 한다.
귀가 후 짧은 풀이에서도 확인할 기준
경문고등학교 과제를 마치고 동작동 생활권으로 돌아온 뒤 시간이 짧더라도 한 문제의 풀이를 세 칸으로 점검할 수 있다. 지역 내 학교로 확인되는 곳은 경문고등학교이며, 동작고등학교·성남고등학교·수도여자고등학교·숭의여자고등학교는 같은 동작구의 참고 학교이므로 동작동 소재 학교로 혼동하지 않는다. 학교명보다 실제 귀가 시각과 과제량에 맞춰 중간식 기록 여부를 확인하는 편이 적절하다.
숫자를 바꾼 문항에서 스스로 전환하기
마지막 확인에는 다음 문항을 제시한다.
x2 - 8x + 12 = 0
학생이 먼저 x2-8x+16=4로 만들고, (x-4)2=4를 얻는지 본다. 여기서 가운데항은 2·x·(-4)=-8x이므로 조건에 맞다. 이어서
x-4=±2
에서 x=6 또는 x=2를 구하면 된다. 같은 식을 외워 반복한 것이 아니라, 계수가 바뀌어도 양끝 제곱근과 가운데항 2ab를 확인하고 중간식을 유지했는지가 이 학습의 확인 기준이다.