대방동고2수학과외

대방동고2수학과외, 지수방정식에서 같은 밑을 다시 세우는 풀이

대방동의 성남고등학교, 숭의여자고등학교, 영등포고등학교, 서울공업고등학교 학생들은 방과후 이동 시간과 자습 시간을 나누어 사용하게 된다. 이때 짧은 풀이 시간에도 지수식의 밑과 지수를 구분해 적는 과정이 필요하다. 대방동주공아파트나 대방동현대아파트 생활권에서 귀가하기 전 푼 문제를 살펴보면, 계산보다 식의 표현을 바꾸는 첫 단계에서 오류가 드러나는 경우가 있다.

4^x와 2^x+3의 지수를 바로 비교할 수 없는 이유

문제는 다음과 같다.

4^x = 2^x+3

풀이 첫 줄에 x = x+3이라고 적었다면, 아직 두 식의 밑이 같지 않은 상태에서 지수만 비교한 것이다. 지수가 같으면 값이 같다는 관계는 같은 밑이면서 그 밑이 0보다 크고 1이 아닐 때 사용할 수 있다. 여기서는 먼저

4^x = (2²)^x = 2^2x

로 바꾸어야 한다. 그러면

2^2x = 2^x+3 → 2x = x+3 → x=3

이 된다. 실제로 4³=64이고 2⁶=64이므로 원식에도 맞는다.

계수와 부호가 바뀌어도 밑 통일부터 다시 세우기

이전 문제의 풀이 모양을 기억해 두고 숫자만 끼워 넣으면 변형식에서 다시 막힐 수 있다. 예를 들어

5·4^x = 40

에서는 먼저 계수를 정리한다.

4^x=8=2³

2^2x=2³ → 2x=3 → x=3/2

이때 5를 지수로 바꾸거나 4^x와 2³의 지수를 곧바로 비교하지 않는다. 학생이 확인할 항목은 여러 개를 한꺼번에 표시하는 것이 아니라, 이번 오답의 원인인 공식 적용 전 같은 밑 통일 하나다. 풀이 옆에 “4=2²”를 적고, 바뀐 식을 한 줄 남긴 뒤 지수를 비교한다.

다음 문제에서 원식과 치환을 연결했는가

하루 뒤에는 다음 식으로 확인한다.

8^x-1 = 4^2x+1

이번에는 8=2³, 4=2²를 먼저 적어야 한다.

2^3x-3 = 2^4x+2

3x-3=4x+2 → x=-5

검산하면 왼쪽은 8^-6=2^-18, 오른쪽은 4^-9=2^-18이다. 답만 적는 것이 아니라 두 밑을 같은 수의 거듭제곱으로 바꾸고, 변환된 지수식을 원래 식과 다시 연결했는지가 확인되어야 한다.