대방동고1수학과외: x²=a에서 ±를 놓치지 않는 두 근 풀이
대방동의 학교에서 수업을 마치고 대방동주공아파트나 대방동현대아파트 쪽으로 이동한 뒤 확보한 짧은 자습시간에는, 한 문제를 많이 푸는 것보다 풀이의 빠진 줄을 확인하는 연습이 효과적이다. 특히 x²=a 꼴에서는 제곱해서 같은 값이 되는 두 수를 모두 찾아야 한다.
첫 번째 근에서 멈춘 풀이
학교 프린트의 방정식이 다음과 같다고 하자.
x²=49
학생은 풀이란에
x=√49=7, 따라서 x=7
이라고 적고 답을 끝냈다. 여기서 7은 실제 해이지만 유일한 해는 아니다. (-7)²도 49이므로 x=-7 역시 방정식을 만족한다. 학생이 첫 해를 구한 뒤 다른 부호의 경우를 별도 줄로 계산하지 않은 장면은, 제곱근 기호의 대표값만 확인하고 방정식의 해 전체를 확인하지 않은 경우다.
제곱근 기호와 방정식의 해를 구분하기
√49는 양의 제곱근인 7을 뜻한다. 그러나 x²=49의 해는 제곱하여 49가 되는 모든 수이므로
x=±√49=±7
이다. 풀이를 답안에 남길 때는 x=7 또는 x=-7처럼 두 값을 분명히 적어야 한다. a가 양수라면 x²=a의 해는 x=√a와 x=-√a이고, 두 값은 서로 다른 두 근이다.
두 부호를 실제 계산으로 분리하기
같은 실수를 줄이기 위해 다음 문제에서는 기호만 적고 지나가지 않고, 두 줄을 직접 완성한다.
x²=81
첫 번째 경우: x=√81=9
두 번째 경우: x=-√81=-9
따라서 해는 x=9, -9이다. 원래 식에 대입하면 9²=81, (-9)²=81이므로 두 값 모두 조건을 만족한다. 이 대입은 ±를 적은 뒤 실제로 두 해가 맞는지 확인하는 절차이기도 하다.
근호가 정수로 끝나지 않아도 절차는 같다
x²=20에서는 √20을 억지로 20으로 바꾸거나 한 값만 적으면 안 된다.
x=±√20=±2√5
이고, 두 해는 2√5와 -2√5이다. 각각 제곱하면 (2√5)²=20, (-2√5)²=20이 된다. 숫자가 정수인지와 관계없이 ±가 필요한 이유는 그대로 유지된다.
대방동 통학 뒤 짧게 확인할 풀이 흔적
성남고등학교, 숭의여자고등학교, 영등포고등학교, 서울공업고등학교처럼 대방동 지역의 학교에서 귀가한 뒤 시간이 짧다면 문제마다 긴 오답노트를 만들 필요는 없다. 풀이 옆에 “두 부호 계산 → 원래 식 대입”이라는 흔적이 남았는지만 확인한다. 같은 동작구의 수도여자고등학교는 참고 학교이며 대방동 소재 학교와는 구분해야 한다.
조건이 바뀐 식에서 스스로 적용하기
교사의 질문 없이 다음 문제를 풀게 한다.
(x-3)²=16
먼저 제곱근을 취하면
x-3=±4
두 경우를 계산하여 x-3=4이면 x=7, x-3=-4이면 x=-1이다. 실제로 (7-3)²=16, (-1-3)²=16이므로 두 값 모두 맞다.
이 문제처럼 괄호의 위치가 달라지면 x 자체가 아니라 x-3에 ±를 붙여야 한다. 풀이에서 두 부호를 각각 계산하고 원래 식에 대입했는지 확인하면, 단순히 x²=a를 외운 것이 아니라 조건에 맞는 두 근을 찾는 절차를 적용했는지 판단할 수 있다.