대방동고3수학과외

대방동 고3수학과외에서 세 항의 곱을 끝까지 검산하는 연습

대방동주공아파트나 대방동현대아파트에서 성남고등학교, 숭의여자고등학교, 영등포고등학교, 서울공업고등학교 방향으로 이동한 뒤 자습 시간을 확보하는 학생은 방과 후 풀이량보다 한 문제를 정확히 되짚는 습관이 중요하다. 대방동 내 학교와 동작구 내 참고 학교인 수도여자고등학교를 오가는 생활권에서도 변형된 미분 문제를 같은 방식으로 확인하도록 훈련했다.

두 항 공식으로 줄여 쓴 오답

학생은 다음 함수를 세 함수의 곱으로 보고도 직전 문제의 부호와 두 항 공식만 재사용했다.

f(x)=(x-2)(x+1)(3x-1)²

x=1에서 학생이 적은 식은 다음과 같았다.

f′(x)=(x-2)(3x-1)²+(x+1)·2(3x-1)·3
f′(1)=-4+24=20

이 식은 오답이다. 세 인자의 곱을 미분할 때는 각 인자를 한 번씩 미분한 세 항이 모두 필요하다. 학생의 식에는 첫 번째 인자 x-2를 미분한 항이 빠졌고, 따라서 x=1에서의 접선 기울기의 부호도 반대로 바뀌었다.

인자별로 다시 세운 정확한 미분

먼저 u=x-2, v=x+1, w=(3x-1)²로 나누었다. 그러면

f′(x)=u′vw+uv′w+uvw′

이고,

u′=1,   v′=1,   w′=2(3x-1)·3=6(3x-1)

이므로 정확한 도함수는

f′(x)=(x+1)(3x-1)²+(x-2)(3x-1)^{2
+(x-2)(x+1)·6(3x-1)}

이다. x=1을 대입하면

f′(1)=2·4+(-1)·4+(-1)·2·12=8-4-24=-20

이 된다. 틀린 줄에는 별표를 붙이고, 먼저 세 인자가 모두 곱해져 있는지 확인한 다음 각 인자의 변화율을 하나씩 대입했다. 또한 f(1)=-8, f(1.01)≈-8.198이므로 x=1 근처에서 함수값이 감소한다. 따라서 기울기 20보다 -20이 그래프의 방향과 맞는다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고 다음 함수로 절차를 다시 적용했다.

g(x)=(x+3)(2x-1)(x-2)²

x=0에서

g′(0)=2(-1)·4+1·2·4+1·(-1)·2(-2)= -8+8+4=4

로 계산했다. 세 항을 모두 포함했는지 확인한 뒤 g(0)=6, g(0.01)≈6.0404를 대조하면 증가 방향과 양의 도함수 4가 일치한다. 이렇게 숫자와 부호가 바뀐 새 함수에서도 ‘두 항만 쓰기’ 대신 인자 수를 먼저 세고, 마지막에 원함수와 그래프의 증가·감소를 역검산하는 과정을 유지했다.