지행동고2수학과외: 항의 순서가 바뀌면 일반항도 다시 확인해야 한다
지행동에서 통학과 과제가 겹치는 고2 수열 학습에서는 풀이를 길게 적는 것보다, 첫째항의 부호와 항번호의 관계를 즉시 확인하는 과정이 중요하다. 특히 교대부호 수열은 모양이 비슷해 보여도 지수의 위치가 달라지면 첫 항부터 결과가 달라진다.
-1, 1, -1, 1에서 지수를 잘못 맞춘 풀이
수열이 다음과 같이 주어졌다고 하자.
-1, 1, -1, 1, …
첫째항부터 대입하면
(-1)^1=-1,
(-1)^2=1,
(-1)^3=-1
이므로 일반항은 an=(-1)n이다. 그런데 풀이 과정에서 이 수열을 (-1)n+1로 적었다면 첫째항은
(-1)1+1=1
이 되어 원래 수열의 첫째항 -1과 맞지 않는다. 반대로 1, -1, 1, -1, …에서는 an=(-1)n+1가 맞다. 계수까지 붙은 3, -3, 3, -3, …은 an=3(-1)n+1로 표현된다.
일반항을 정한 뒤 네모 조건부터 검사하기
교대부호 수열을 식으로 바꿀 때는 다음 세 항목을 풀이 옆에 네모로 적는다.
- □ 첫째항을 대입했을 때 부호가 같은가?
- □ 둘째항에서 부호가 반대로 바뀌는가?
- □ 계수의 절댓값과 항의 표현이 일치하는가?
예를 들어 4, -4, 4, -4, …라면 후보를 바로 확정하지 않고
4(-1)n+1에 대해
n=1 → 4,
n=2 → -4
를 확인한다. 두 값이 실제 항과 일치하므로 an=4(-1)n+1이다. 이처럼 계산 전에 조건을 체크하면 (-1)n과 (-1)n+1을 모양만 보고 바꾸는 오류를 줄일 수 있다.
항을 섞어 제시했을 때도 구조를 찾는 검산
다음 변형을 확인한다.
5, -5, 5, -5, …
첫 항이 양수이고 부호가 번갈아 바뀌므로
an=5(-1)n+1
이다. 실제로 a3=5(-1)4=5, a4=5(-1)5=-5가 된다.
반면 항의 순서를 바꾸어 -5, 5, -5, 5, …로 제시하면 같은 계수라도 일반항은 5(-1)n으로 달라진다. 마지막에는 반드시 n=1, n=2를 원래 나열된 항과 대조해야 한다.
동두천중앙고등학교와 동두천외국어고등학교가 있는 지행동 생활권에서 학교별 프린트와 시험 문제의 표현이 달라져도, 항번호를 넣어 첫 두 항을 검산하는 습관이 유지되면 교대부호 일반항을 안정적으로 재구성할 수 있다.