지행동고1수학과외: 두 직선의 기울기 곱이 -1이 되는 이유와 적용
지행동에서 학교 수업과 통학을 병행하며 고1 수학을 공부할 때는, 좌표 문제의 풀이 줄을 생략하지 않는 습관이 필요하다. 특히 두 직선이 수직이라는 조건은 그림의 모양만 보고 판단하는 것이 아니라 기울기를 계산한 뒤 곱을 확인해야 한다.
분수식만 적고 끝낸 풀이
두 점 \(A(2,-1)\), \(B(6,7)\)을 지나는 직선의 기울기는 점의 순서를 일관되게 사용하면
\[ m_1=\frac{7-(-1)}{6-2}=\frac{8}{4}=2 \]
이다. 이 직선에 수직이고 \(C(-3,4)\)를 지나는 직선의 기울기는 \(m_2\)라 할 때, 수직 조건은
\[ m_1m_2=-1 \]
이므로
\[ 2m_2=-1,\qquad m_2=-\frac12 \]
가 된다. 따라서 두 번째 직선의 방정식은
\[ y-4=-\frac12(x+3) \]
이다.
그런데 실제 풀이에서는 첫 번째 기울기 \(\frac{7-(-1)}{6-2}\)만 적은 뒤, 수직 조건을 표시하지 않고 곧바로 두 번째 직선의 식을 고쳤다. 정답이 맞더라도 수직 조건을 적용한 근거가 풀이에 남아 있지 않은 상태다.
수직 조건이 들어가야 하는 위치
이 문제에서 빠진 줄은 첫 번째 기울기를 구한 직후다. 풀이를 다음처럼 다시 배열한다.
- 첫 번째 직선의 기울기: \(m_1=2\)
- 수직 조건 표시: \(m_1m_2=-1\)
- \(2m_2=-1\)에서 \(m_2=-\frac12\) 계산
- 점 \(C(-3,4)\)를 이용해 \(y-4=-\frac12(x+3)\) 작성
기울기를 구할 때는 \(y\)좌표의 차이를 먼저, \(x\)좌표의 차이를 나중에 같은 순서로 빼야 한다. 순서를 바꾸어 \(\frac{-1-7}{2-6}\)으로 계산해도 결과는 \(2\)이지만, 한 분자 안에서 순서를 섞으면 부호가 달라진다. 따라서 계산표를 만들지 않더라도 두 차이를 한 줄에 함께 적고, 이어서 \(m_1m_2=-1\)을 표시하도록 훈련한다.
새 좌표에서도 식과 조건을 함께 말하기
좌표를 바꾼 문제로 다음을 확인할 수 있다. \(P(-4,5)\), \(Q(2,-7)\)을 지나는 직선에 수직이고 \(R(1,3)\)을 지나는 직선의 방정식을 구해 보자.
첫 번째 기울기는
\[ m_1=\frac{-7-5}{2-(-4)}=\frac{-12}{6}=-2 \]
이다. 이제 반드시 수직 조건을 적용하면
\[ (-2)m_2=-1,\qquad m_2=\frac12 \]
이므로 \(R(1,3)\)을 지나는 직선은
\[ y-3=\frac12(x-1) \]
이다. 이때 답만 말하는 것이 아니라 “첫 직선의 기울기가 \(-2\)이고, 수직한 직선의 기울기는 곱이 \(-1\)이 되도록 \(\frac12\)로 정했다”라고 계산 근거를 먼저 설명하는지 확인한다.
지행역부영9단지 등에서 통학한 뒤 짧게 학교 프린트를 복습하는 시간에도, 문제마다 수직 조건이 표시된 줄이 있는지 점검하면 풀이의 누락을 발견하기 쉽다. 같은 동두천시의 참고 학교와 지행동 내 학교를 혼동할 필요 없이, 자신의 학교 과제에서 좌표와 조건이 바뀐 문제를 골라 이 과정을 적용하면 된다.