지행동 고3 수학과외에서 확률분포를 다시 읽는 연습
지행동에서 학교와 집을 오가며 과제와 시험을 함께 준비하는 고3 학생은 표의 숫자를 빠르게 계산하는 데 익숙했지만, 확률이 달라진 순간에도 이전 문제의 풀이 모양을 그대로 적용하는 실수를 보였다. 동두천중앙고등학교와 동두천외국어고등학교가 있는 생활권에서는 이동 시간까지 고려해 짧은 풀이 후 검산 기준을 남기는 방식으로 학습을 진행했다.
확률을 반영하지 않은 기댓값 계산
확률변수 X의 분포가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
- P(X=1)=0.2
- P(X=4)=0.5
- P(X=7)=0.3
학생은 다음과 같이 계산했다.
E(X)=(1+4+7)/3=4
이 식은 오답이다. 세 값이 같은 확률로 나오는 상황이 아니므로 단순한 산술평균을 사용할 수 없다. 각 값에 해당 확률을 곱해야 한다.
따라서 정확한 계산은
E(X)=1×0.2+4×0.5+7×0.3=0.2+2+2.1=4.3
이다. 학생은 풀이 중간에 별표를 표시해 확률의 합과 기댓값의 범위를 확인하도록 수정했다. 먼저 0.2+0.5+0.3=1인지 확인하고, 1≤X≤7이므로 기댓값이 4.3으로 그 사이에 있는지 살폈다. 또한 가장 큰 확률이 X=4에 있으므로 기댓값이 4 근처에 위치해야 한다는 점도 점검했다.
표의 모양이 달라져도 성질 적용하기
이후에는 값의 개수가 바뀐 분포를 제시했다.
- P(Y=0)=0.1
- P(Y=3)=0.2
- P(Y=6)=0.4
- P(Y=9)=0.3
학생은 먼저 확률의 합이 1인지 확인한 뒤,
E(Y)=0×0.1+3×0.2+6×0.4+9×0.3=0+0.6+2.4+2.7=5.7
로 계산했다. 이전 그래프의 모양이나 값의 평균을 복사하지 않고, 각 확률이 어느 값에 붙어 있는지 표에서 다시 읽은 점이 핵심이다. 특히 Y=6의 확률이 가장 크므로 기댓값이 6보다 조금 작게 나오는 것이 자연스럽다는 점으로 결과를 검산했다.
이항분포 조건을 바꾼 독립 검증
마지막에는 성공 횟수 Z가 이항분포 B(5, 0.4)를 따르는 새 문제를 풀게 했다. 이때 기댓값은
E(Z)=np=5×0.4=2
이다. 학생은 성공 횟수의 가능한 값이 0부터 5까지라는 범위를 먼저 표시하고, 기댓값 2가 그 범위 안에 있는지 확인했다. 이어 성공확률을 0.7로 바꾼 독립 조건 W∼B(5,0.7)에서도
E(W)=5×0.7=3.5
를 얻었다. 분포의 확률이 달라지면 산술평균을 쓰는 것이 아니라, 각 값에 확률을 곱하거나 이항분포의 성질 E(X)=np를 적용해야 한다는 판단을 새 조건에서도 유지했다.