동대문고2수학과외에서는 방과 후 이동 뒤 남은 자습 시간에 풀이 한 줄의 근거를 확인하는 일이 중요하다. 답십리·전농동에서 귀가하기 전 학교 프린트의 로그함수 그래프 문제를 풀던 중, 다음 오답이 발견됐다.
대응점의 좌표를 바꾸지 않은 한 줄
문제는 두 함수의 관계를 묻고 있었다.
y=log2x와 y=2x가 역함수 관계임을 이용하여, 로그함수 위의 점 (4, 2)에 대응하는 지수함수 위의 점을 구하여라.
로그함수에서는
log24=2
이므로 y=log2x 위에 (4, 2)가 놓인다. 두 역함수의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 좌표를 서로 바꾸어야 한다.
따라서 대응점은 (2, 4)이다. 그런데 풀이표에는 y=2x의 대응점도 (4, 2)라고 적혀 있었다. 이는 밑변환이나 로그 계산의 오류가 아니라, 대칭이라는 그래프 근거를 계산 줄에서 생략하면서 생긴 오류다.
y=x 대칭은 좌표 교환으로 확인한다
역함수 관계에서는 원래 함수의 점 (a,b)가 역함수의 점 (b,a)로 바뀐다. 실제로
y=log2x에서 (4,2)를 얻으면, 좌표를 바꾼 (2,4)가 y=2x 위에 있는지 확인한다.
22=4
이 검산이 성립하므로 (2,4)가 옳다. 반대로 (4,2)를 지수함수에 대입하면 24=16이므로 그래프 위의 점이 아니다.
풀이할 때는 대응점을 구한 직후 오답표의 해당 줄만 남겨 둔다.
log24=2 → (4,2) → y=x 대칭으로 (2,4)
이처럼 누락된 조건인 y=x에 대한 대칭을 옆에 적고, 마지막에는 새 점을 원래 함수식에 대입한다. 그래프를 그리지 못한 상황에서도 좌표 교환과 대입 검산이 그래프의 근거를 대신한다.
밑이 바뀌어도 대응점의 규칙은 유지되는가
수정한 뒤에는 앞 문제를 보지 않고 다음 문제를 제시했다.
y=log3x 위의 점 (9,2)에 대응하는 역함수 y=3x 위의 점을 구하여라.
log39=2이므로 로그함수의 점은 (9,2)이다. 직선 y=x에 대한 대칭을 적용하면 좌표를 바꾸어 (2,9)를 얻는다. 실제로
32=9
이므로 (2,9)는 지수함수 위에 있다. 밑이 2에서 3으로 바뀌었지만, 그래프의 대칭 조건을 먼저 적고 좌표를 교환한 뒤 대입하는 순서는 유지되었다.