동대문고1수학과외, 켤레복소수로 나눗셈의 분모를 실수로 만들기
복소수 나눗셈에서 분모의 부호만 바꾸는 것과 켤레복소수를 이용해 분모를 실수로 만드는 것은 다르다. 동대문구의 학교 프린트 문제를 귀가 후 짧게 풀 때에도, 계산보다 먼저 어떤 수를 곱하는지 말로 확인해야 식의 구조가 유지된다.
분모의 부호를 바꾸는 이유는 무엇인가
예를 들어
(3+2i)/(1−i)
에서 분모의 켤레는 1+i이다. 켤레를 곱하는 까닭은 다음과 같다.
(1−i)(1+i)=1−i2=1−(−1)=2
즉, 허수 부분이 없어져 분모가 실수가 된다. 따라서 분자와 분모에 반드시 같은 수 1+i를 곱해야 한다.
분모에만 곱한 오답식에서 드러난 혼동
관찰된 풀이에서는 학생이 분모의 1−i를 1+i로 바꾼 뒤, 분자에는 아무것도 곱하지 않고
(3+2i)/(1+i)
라고 적었다. 이 식은 원래 나눗셈과 같은 값이라는 근거가 없다. 분모만 바꾸면 분수 전체의 값이 달라지기 때문이다. 켤레복소수는 분모의 부호를 임의로 수정하는 기호가 아니라, 분자와 분모에 함께 곱하는 곱셈식으로 사용해야 한다.
같은 켤레를 위아래에 곱한 실제 계산
정확한 전개는 다음과 같다.
(3+2i)/(1−i) × (1+i)/(1+i)
분자는
(3+2i)(1+i)=3+3i+2i+2i2=1+5i
이고, 분모는
(1−i)(1+i)=2
이다. 그러므로
(3+2i)/(1−i)=(1+5i)/2=1/2+5/2i
풀이 중간에 분자와 분모에 모두 1+i를 곱했는가, 분모가 실제로 실수가 되었는가를 확인하면 기계적으로 부호만 바꾸는 행동을 줄일 수 있다.
짧은 학습 시간에 남길 한 가지 행동
동부아파트나 쌍용아파트 인근에서 이동한 뒤 확보한 짧은 자습 시간에는 긴 오답 설명 대신 다음 문장을 풀이 첫 줄에 적는다.
분모 1−i의 켤레 1+i를 분자와 분모에 곱해 분모를 실수화한다.
그다음 실제로 (1−i)(1+i)=2를 계산한다. 오답노트에는 정답만 옮기지 않고, 누락했던 행동인 “분자와 분모 모두에 같은 켤레를 곱함”만 표시한다.
회전한 복소평면에서 설명까지 확인하기
새 조건에서는 나눗셈식을 그대로 반복하지 않고, 복소수를 좌표와 회전으로 해석하게 한다. 복소수 z=1−i는 복소평면에서 점 (1,−1)이고, 켤레 1+i는 점 (1,1)이다. 두 수는 실수축에 대해 서로 대칭인 위치이므로 곱하면
(1−i)(1+i)=2
가 되어 허수 성분이 사라진다. 회전한 그림이나 위치가 바뀐 복소평면을 보고 서술할 때에는 식만 쓰지 않고, 켤레가 실수축 대칭으로 대응한다는 조건과 곱의 허수 부분이 없어져 분모를 실수화한다는 결론까지 적는지 확인한다.
이 설명에서 켤레를 분모에만 적용하지 않고, 사용한 조건과 결론을 빠짐없이 연결한다면 복소수 나눗셈의 절차를 새로운 표현에서도 스스로 적용한 것으로 볼 수 있다.