동대문고3수학과외

동대문 고3 수학과외에서 확인한 합성함수 미분의 부호

동대문구의 동국대학교사범대학부속고등학교, 청량고등학교, 해성여자고등학교 등에서 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에는 계산량보다 한 줄의 조건과 함수 구조를 확인하는 연습이 중요하다. 이번 학생은 답을 고치는 속도는 빠르지만, 처음 잘못된 줄을 찾지 않고 마지막 식만 바꾸는 습관이 있었다.

바깥 함수와 안쪽 함수를 분리한 풀이

다음 함수를 미분했다.

f(x)=cos(2x²-3x+1)

안쪽 함수를 g(x)=2x²-3x+1로 두면

g′(x)=4x-3

이고, 바깥 함수의 미분은 (cos u)′=-sin u이다. 따라서 합성함수 미분법에 따라

f′(x)=-sin(g(x))·g′(x)=-sin(2x²-3x+1)(4x-3)

가 되어야 한다.

재풀이에서 드러난 첫 오답

f′(x)=sin(2x²-3x+1)(4x-3)

이 식은 오답이다. 학생은 안쪽 함수의 미분인 4x-3은 정확히 계산했지만, cos(g(x))를 미분할 때 생기는 바깥 부호 −를 빠뜨렸다. 마지막 답에 마이너스만 덧붙이는 방식으로 끝내면 왜 틀렸는지 남지 않으므로, 처음 잘못된 줄부터 표시해야 한다.

틀린 줄부터 다시 검산하는 과정

• 틀린 줄 표시: (cos u)′=sin u라고 적은 부분에 밑줄을 긋는다.
• 함수 관계 확인: 바깥 함수는 cos u, 안쪽 함수는 u=g(x)=2x²-3x+1임을 따로 적는다.
• 식 수정: (cos u)′=-sin u이므로 f′(x)=-sin(g(x))g′(x)로 고친다.
• 대입 검산: x=1이면 g(1)=0, g′(1)=1이므로 정확한 도함수는 f′(1)=-sin0·1=0이다.

또한 x=1 근처에서 g(x)가 증가하므로 cos(g(x))는 g(x)=0을 지난 직후 감소해야 한다. 그래프의 변화 방향도 음의 부호와 일치하는지 확인해 계산 결과를 검산했다.

곱셈에서 나눗셈으로 바꾼 독립 검증

같은 식을 반복하지 않고 다음 문제로 첫 판단을 다시 확인했다.

h(x)=cos((x²+1)/(x-2)), x≠2

이번에는 안쪽 함수를 q(x)=(x²+1)/(x-2)로 두고, 먼저 정의역 조건 x≠2를 표시한다.

몫의 미분으로

q′(x)={(2x)(x-2)-(x²+1)}/{(x-2)²}={(x²-4x-1)}/{(x-2)²}

이므로

h′(x)=-sin((x²+1)/(x-2))·(x²-4x-1)/(x-2)²

이다. x=3을 대입하면 q(3)=10, q′(3)=-4이므로

h′(3)=-sin10·(-4)=4sin10

이 된다. 곱셈 형태에서 몫 형태로 조건과 계수를 바꾸어도 cos의 바깥 미분 부호는 반드시 유지되는지 확인한 것이다.