휘경동고2수학과외, 로그 척도를 실제 값의 차이로 읽지 않기
휘경여자고등학교와 휘봉고등학교 등 휘경동의 학교별 내신 일정에 따라 같은 로그함수라도 프린트와 서술형에서 요구하는 표현이 달라질 수 있다. 휘경주공아파트와 휘경미소지움아파트 생활권에서 이동하는 학생의 주간 학습량이 다르더라도, 로그함수 문제에서는 숫자 계산보다 척도의 의미를 정확히 해석해야 한다.
로그값이 2만큼 크다고 실제 값도 2만큼 큰가
함수 y=log2x에서 두 점을 비교해 보자.
log28=3, log232=5이므로 로그값의 차이는 5-3=2이다. 하지만 원래 값의 차이는 32-8=24이다.
로그 척도에서 값이 2만큼 증가했다는 뜻은 실제 값이 2 증가했다는 의미가 아니라, 밑이 2일 때 실제 값이 22=4배가 되었다는 뜻이다.
일반적으로 logbA-logbB=2라면
logb(A/B)=2이므로 A/B=b2이다. 단, 로그의 밑은 b>0, b≠1, 진수는 각각 양수여야 한다.
점근선과 단조성을 빠뜨린 풀이
학생이 y=log2(x-3)+1의 그래프를 설명하면서 “x가 커질수록 증가하고, y절편은 1이다”라고 적은 경우가 있었다. 이 설명은 점근선과 정의역을 확인하지 않았고, x=0을 대입할 수 없으므로 y절편도 존재하지 않는다.
정확한 판단은 다음과 같다.
- 진수 조건:
x-3>0이므로 정의역은x>3 - 점근선:
x=3 - 밑이
2>1이므로 증가함수 - 그래프의 이동 때문에
x=0은 정의역 밖이다
따라서 로그값의 변화량을 해석할 때도 그래프의 점근선과 증가·감소를 함께 확인해야 한다. 밑이 1/2라면 0<1/2<1이므로 함수는 감소하고, 로그값이 커질수록 진수는 오히려 작아진다.
조건·계산·검산 세 칸으로 오류 위치 찾기
다음 문제를 세 칸으로 나누어 기록한다.
log3(x-1)-log32=2를 풀어라.
- 조건:
x-1>0, 따라서x>1 - 계산:
log3((x-1)/2)=2이므로(x-1)/2=9,x=19 - 검산:
log3}18-log3}2=log3}9=2
이때 “로그값의 차이가 2이므로 진수의 차이도 2”라고 쓰면 틀린다. 두 진수의 비가 32=9가 되어야 하기 때문이다. 풀이가 막히면 세 칸 중 오류가 생긴 칸만 지우고 다시 작성하여, 조건 누락인지 계산 오류인지 검산 부족인지 구분한다.
경계값을 바꾼 검증 문제
다음 식에서 같은 판단을 스스로 적용한다.
log2(x+1)-log24=3
진수 조건은 x+1>0, 즉 x>-1이다. 계산하면
log2((x+1)/4)=3, (x+1)/4=8이므로 x=31이다. 원래 식에 대입하면 log232-log24=5-2=3으로 확인된다.
경계값을 x=-1로 바꾸면 진수 x+1=0이 되어 로그가 정의되지 않는다. 따라서 경계값은 포함되지 않는다. 이처럼 새로운 수에서도 점근선 x=-1, 밑에 따른 단조성, 로그값 차이와 실제 값의 비율을 조건·계산·검산 칸에서 각각 확인해야 한다.