휘경동 고3 수학과외에서 확인한 삼각함수의 주기와 도함수
휘경동의 휘경여자고등학교, 휘봉고등학교, 서울반도체고등학교 학생들은 학교별 내신 일정과 주간 학습 시간이 다르므로, 같은 공식을 외우기보다 문제의 조건을 독립적으로 읽는 연습이 필요하다. 휘경주공아파트와 휘경미소지움아파트 생활권에서 수업한 한 고3 학생은 삼각함수의 계수가 바뀌면 주기와 도함수를 함께 다시 확인해야 한다는 점에서 자주 막혔다.
계수와 주기를 분리해 읽기
학생이 먼저 푼 문제는 다음과 같았다.
함수 \(f(x)=2\sin(4x-\frac{\pi}{3})-1\)의 주기와 도함수 \(f'(x)\)를 구하여라.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
오답: 주기 \(2\pi\), \(f'(x)=8\cos(4x-\frac{\pi}{3})\)
이 식은 틀렸다. \(2\sin(4x-\frac{\pi}{3})\)에서 괄호 안의 계수 \(4\)가 주기를 결정하므로 주기는 \(\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\)이다. 또한 미분할 때 바깥 계수 \(2\)와 안쪽 미분계수 \(4\)를 모두 곱해야 하므로 도함수는
\[ f'(x)=2\cdot \cos(4x-\frac{\pi}{3})\cdot4 =8\cos(4x-\frac{\pi}{3}) \]
이다. 따라서 도함수 식은 맞지만 주기 \(2\pi\)는 틀렸다. 도함수의 주기 역시 코사인 내부 계수에 의해 \(\frac{\pi}{2}\)이다.
틀린 줄을 표시하고 조건을 다시 확인한 과정
학생은 답안에서 주기 부분에 밑줄을 긋고, \(\sin(ax+b)\)의 주기가 \(\frac{2\pi}{|a|}\)라는 관계를 옆에 적었다. 여기서 진폭 \(2\), 위아래 이동 \(-1\), 위상 이동 \(-\frac{\pi}{3}\)은 주기를 바꾸지 않고, \(x\)의 계수 \(4\)만 주기를 바꾼다는 점을 분리했다.
- 원함수: \(f(x)=2\sin(4x-\frac{\pi}{3})-1\)
- 내부식: \(4x-\frac{\pi}{3}\)
- 한 주기 동안 내부식의 변화량: \(2\pi\)
- \(4T=2\pi\)이므로 \(T=\frac{\pi}{2}\)
도함수도 직접 계산한 뒤 \(f'(0)\)을 대입해 확인했다.
\[ f'(0)=8\cos(-\frac{\pi}{3})=8\cdot\frac12=4 \]
원함수의 변화율을 나타내는 도함수에 바깥 계수와 내부 계수가 모두 반영되었는지 역으로 확인하면서, 주기 계산과 미분 계산을 같은 공식으로 처리하지 않도록 정리했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이전 문제의 경계를 그대로 사용하지 않도록 계수와 함수 종류를 모두 바꾸어 다시 풀었다.
함수 \(g(x)=-3\cos(3x+\frac{\pi}{4})+2\)의 주기와 도함수를 구하여라.
이번에는 코사인 함수이고 내부의 \(x\) 계수가 \(3\)이므로
\[ 3T=2\pi,\qquad T=\frac{2\pi}{3} \]
이다. 도함수는
\[ g'(x)=-3\{-\sin(3x+\frac{\pi}{4})\}\cdot3 =9\sin(3x+\frac{\pi}{4}) \]
이다. \(g'(x)\)의 주기도 내부 계수 \(3\)에 의해 \(\frac{2\pi}{3}\)이다. 학생은 수직선에 주기 경계가 아니라 \(x\)의 한 주기 구간을 \(0\le x<\frac{2\pi}{3}\)으로 표시하고, 양 끝에서 내부식의 차이가
\[ 3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi \]
가 되는지 검산했다. 이 문제에는 확률의 총합을 확인하는 조건이 없으므로 확률 검산을 끌어오지 않고, 주기와 도함수에 직접 관련된 내부 계수와 부호만 확인했다.