휘경동고1수학과외

휘경동고1수학과외: i의 주기와 켤레식을 함께 계산하는 순서

휘경여자고등학교, 휘봉고등학교, 서울반도체고등학교의 학교 일정과 내신 범위는 서로 다를 수 있어, 휘경동에서 고1 수학을 공부할 때도 학생이 실제로 어떤 계산 절차를 수행하는지 확인해야 한다. 특히 복소수에서는 i의 거듭제곱을 주기로 정리한 뒤 켤레조건과 식의 연산 순서를 유지하는 것이 중요하다.

i¹³을 그대로 계산하려다 흐트러진 식

학교 프린트에서 다음 식을 풀던 학생은 i의 지수를 따로 줄이지 않고 계산을 이어 갔다.

(1+2i)(1-2i)+i¹³-2i⁷

학생은 켤레 부분을 먼저 계산하여

(1+2i)(1-2i)=1-(2i)²=5

까지는 정확히 처리했다. 그러나 이후 i¹³과 i⁷을 긴 곱셈으로 전개하려 하면서 부호를 놓치고, 정답만 다시 적었다. 이 장면은 켤레의 곱은 알고 있지만, 높은 지수를 주기로 바꾸며 전체 계산 순서를 끝까지 유지하는 단계는 아직 안정되지 않았음을 보여준다.

지수는 4로 나눈 나머지만 남긴다

허수단위의 기본 주기는 다음과 같다.

i¹=i,　i²=-1,　i³=-i,　i⁴=1

따라서 지수를 4로 나눈 나머지를 이용하면

i¹³=i^4×3+1=i,

i⁷=i⁴⁺³=-i

로 줄일 수 있다. 켤레수의 곱도 먼저 구조를 확인한다.

(1+2i)(1-2i)=1²+2²=5

그러므로 원래 식은

5+i-2(-i)=5+3i

가 된다. i⁷의 값이 -i이므로 -2i⁷은 +2i가 된다는 부호 변화까지 확인해야 한다.

계산 순서를 말로 고정하지 않고 식으로 표시하기

훈련에서는 풀이 첫 줄에 ‘지수 축약 → 켤레 곱 → 덧셈과 뺄셈’의 흔적을 남기게 한다. 예를 들어

i¹³=i,　i⁷=-i

(1+2i)(1-2i)=5

5+i-2(-i)=5+3i

처럼 각 단계의 결과를 분리한다. 이렇게 하면 높은 지수를 그대로 전개하지 않고, 켤레식에서 생긴 부호를 다음 줄까지 보존할 수 있다. 답만 다시 쓰는 방식 대신 마지막 식의 실수부와 허수부를 각각 대조하여 5와 3이 맞는지도 확인한다.

새 계수로 바꾼 문항에서 먼저 주기를 적용하는가

같은 식을 반복하지 않고 다음 문항을 제시한다.

(3-i)(3+i)+2i²²+i¹⁵

이번에는 첫 줄에 반드시

i²²=i^4×5+2=-1,　i¹⁵=i^4×3+3=-i

를 적게 한다. 켤레식의 곱은

(3-i)(3+i)=3^2}+12=10

이므로 전체 값은

10+2(-1)+(-i)=8-i

이다. 수치가 달라져도 지수를 먼저 4의 주기로 줄이고, 켤레곱을 계산한 뒤 항을 합치는 행동이 유지되는지를 본다. 정답이 맞더라도 풀이가 지나치게 오래 걸리거나 지수 축약을 생략하면 재확인 대상으로 남긴다.