회기동고2수학과외, 로그 눈금의 간격을 실제값의 차이로 읽지 않기
회기동에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에 로그함수 그래프를 다시 살펴보던 중, 계산 줄은 맞는데 그래프 해석에서 답이 어긋나는 장면이 나왔다. 로그 척도에서는 세로축의 1칸이 실제값의 일정한 차이가 아니라 일정한 배율을 뜻할 수 있다.
로그값이 2 커졌다는 말의 정확한 의미
밑이 10인 로그 척도에서 실제 양을 \(x\), 눈금값을 \(L\)이라 하면
\[ L=\log_{10}x,\qquad x=10^L \]
이다. 따라서 눈금값이 2만큼 커졌다면
\[ L_2=L_1+2 \]
이고, 실제값은
\[ x_2=10^{L_2} =10^{L_1+2} =10^{L_1}\cdot10^2 =100x_1 \]
가 된다. 실제값이 2만큼 증가하는 것이 아니라 100배가 되는 것이다.
그래프에서 빠진 근거가 만든 오답
예를 들어 로그 척도 그래프의 두 점이 각각
\[ A(1,2),\qquad B(3,2) \]
로 표시되어 있고, 가로축이 실제값의 상용로그라고 하자. 답안에 다음과 같이 적었다.
\[ 3-1=2 \quad\Rightarrow\quad \text{실제값도 }2\text{만큼 차이 난다.} \]
이 결론은 그래프의 축이 로그 척도라는 근거를 계산에 연결하지 않은 오류다. 실제값을 각각 복원하면
\[ x_A=10^1=10,\qquad x_B=10^3=1000 \]
이므로 차이는 \(990\), 비는
\[ \frac{x_B}{x_A}=\frac{1000}{10}=100 \]
이다. 눈금 차이 2는 실제값의 차이 2가 아니라 \(10^2\)배의 비율을 나타낸다.
계산 전에 네모로 고정할 확인조건
로그 척도라는 문장을 발견하면 다음 계산 전에 답안 옆에 조건을 적는다.
- □ 눈금값 \(L\)과 실제값 \(x\)의 관계가 \(L=\log_{10}x\)인가?
- □ 실제값을 복원할 때 \(x=10^L\)을 사용하는가?
- □ 눈금의 차이를 실제값의 차이가 아닌 비율로 해석하는가?
세 항목을 확인한 뒤에는
\[ L_2-L_1=d \quad\Rightarrow\quad \frac{x_2}{x_1} =\frac{10^{L_2}}{10^{L_1}} =10^{L_2-L_1} =10^d \]
를 먼저 적는다. 이 한 줄이 그래프의 눈금과 실제량 사이를 연결한다.
밑이 바뀌면 배율도 달라진다
밑이 2인 로그 척도라면 \(L=\log_2x\)이므로 눈금값이 2 커질 때
\[ \frac{x_2}{x_1}=2^{2}=4 \]
이다. 따라서 “로그값이 2만큼 크다”는 말만으로 실제값의 배율을 정할 수 없고, 반드시 로그의 밑을 확인해야 한다.
원래 식을 되돌리는 변형 검증
새 조건으로 두 점의 로그 눈금이 \(L_1=2\), \(L_2=5\)이고 밑이 10이라고 하자. 네모 조건을 통과한 뒤
\[ \frac{x_2}{x_1}=10^{5-2}=10^3=1000 \]
을 얻는다. 역계산으로 실제값을 복원하면
\[ x_1=10^2=100,\qquad x_2=10^5=100000 \]
이고, 실제로
\[ \frac{100000}{100}=1000 \]
이다. 마지막으로 \(\log_{10}100=2\), \(\log_{10}100000=5\)가 다시 나오므로, 눈금 차이와 실제값의 배율을 정확히 연결했는지 확인할 수 있다.