회기동 고3수학과외에서 점검한 주기와 도함수의 관계
회기동의 경희여자고등학교와 경희고등학교 학생은 통학 후 확보한 자습시간에 삼각함수의 주기 문제를 풀이했다. 동대문구 내 다른 학교 학생에게도 적용할 수 있도록, 학교별 출제경향을 가정하지 않고 실제 풀이 과정의 조건 확인에 집중했다.
정답 숫자부터 옮겨 적은 오답
학생은 교사가 “원함수와 도함수의 주기가 어떻게 연결되는가?”라고 묻자 조건을 적지 않고 답만 썼다.
오답: \(f(x)=2\sin(3x-\frac{\pi}{4})+1\)의 주기는 \(\frac{2\pi}{3}\)이므로, \(f'(x)\)의 주기는 원함수와 달라서 \(\frac{\pi}{3}\)이다.
이 식은 틀렸다. \(f(x)\)의 기본주기는 \(3x\)의 계수 때문에 \(\frac{2\pi}{3}\)이고,
\[ f'(x)=6\cos(3x-\frac{\pi}{4}) \]
이다. 코사인 함수의 입력이 \(3x\)이므로 도함수의 주기도 \(\frac{2\pi}{3}\)이다. 미분은 계수와 함수 종류를 바꾸지만, 입력의 주기 조건을 자동으로 절반으로 만들지 않는다.
틀린 줄을 조건식으로 다시 바꾸기
- 틀린 줄 표시: “도함수의 주기는 원함수와 무조건 다르다.”
- 조건 확인: \(\sin u,\cos u\)의 기본주기는 \(2\pi\)이고, \(u=3x-\frac{\pi}{4}\)에서 \(x\)의 변화량 \(T\)가 \(3T=2\pi\)를 만족해야 한다.
- 식 수정: \(T=\frac{2\pi}{3}\), \(f'(x)=6\cos(3x-\frac{\pi}{4})\)로 다시 작성한다.
- 검산: \(f'(x+\frac{2\pi}{3})=6\cos(3x+2\pi-\frac{\pi}{4})=f'(x)\)를 계산해 같은 주기임을 확인한다.
이 과정을 통해 학생은 교사의 정답을 옮겨 적는 대신, 수직선에 주기 경계 \(0,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\)를 표시하고 한 구간의 그래프가 다음 구간에서 반복되는지 확인했다. 핵심은 “도함수의 주기가 반드시 달라진다”가 아니라, 미분 뒤에도 같은 입력 주기 조건이 유지되는지를 보는 것이다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 예제를 반복하지 않고 다음 함수를 제시했다.
\[ g(x)=-3\cos(4x+\frac{\pi}{6})+5 \]
학생의 첫 기록은 “\(g\)의 주기는 \(\frac{\pi}{2}\), \(g'\)의 주기는 \(\pi\)”였지만 이 역시 오답이다.
\[ g'(x)=12\sin(4x+\frac{\pi}{6}) \]
이때 \(4T=2\pi\)이므로 \(T=\frac{\pi}{2}\)이다. 실제로
\[ g'(x+\frac{\pi}{2}) =12\sin(4x+2\pi+\frac{\pi}{6}) =g'(x) \]
가 성립한다. 계수와 삼각함수 종류가 바뀌어도 입력의 계수 \(4\)가 결정하는 기본주기는 그대로라는 점을 확인하면서, ‘도함수의 주기는 무조건 다르다’는 판단을 조건식으로 차단했다.