회기동고1수학과외, 복소수 등식의 실수·허수부분 비교
회기동의 고등학교 수학 프린트에서 복소수 등식 문제를 풀 때는 두 복소수가 같다는 조건을 한 덩어리로 처리하지 않아야 한다. 예를 들어
(2a-3)+(b+4)i=5+7i
가 성립하려면 실수부분끼리, 허수부분끼리 각각 같아야 한다. 따라서
2a-3=5, b+4=7
이고, 여기서 a=4, b=3을 얻는다.
실수부분만 남은 풀이
확인한 학생의 풀이에는 왼쪽 식의 실수부분과 허수부분에 표시가 없었다. 학생은 위 식에서 2a-3=5만 세운 뒤 a=4라고 적고, b에 대해서는 아무 조건도 쓰지 않았다. 복소수의 전체 모양을 한 줄로 비교하다 보니 i가 붙은 항이 별도의 조건을 만든다는 점을 놓친 것이다.
이때 a=4만으로는 원래 등식이 완성되지 않는다. a=4를 대입하면 왼쪽은 5+(b+4)i가 되므로, 오른쪽 5+7i와 같으려면 반드시 b+4=7도 만족해야 한다. 실수부분을 맞춘 것과 복소수 등식 전체를 해결한 것은 서로 다르다.
i가 붙은 항을 따로 떼어 쓰는 순서
식의 각 항을 다음처럼 표시하면 비교할 대상이 분명해진다.
- 실수부분: 2a-3과 5
- 허수부분의 계수: b+4와 7
허수부분은 (b+4)i와 7i이므로 i를 제외한 계수 b+4와 7을 비교한다. 그 결과 연립 조건은
2a-3=5
b+4=7
이다. 두 식을 각각 계산하면 a=4, b=3이고, 실제로 대입했을 때 양변 모두 5+7i가 된다. 같은 부분끼리만 계산해야 하며, 실수부분과 허수부분을 더하거나 한 번에 비교해서는 안 된다.
부호와 절댓값이 함께 나오는 변형
방과 후 이동 뒤 확보된 짧은 자습시간에는 다음처럼 조건을 바꾼 문항으로 확인할 수 있다.
(|x|-2)+(3-y)i=4-5i
이번에도 부분을 나누면
|x|-2=4, 3-y=-5
이다. 첫 식에서 |x|=6이므로 x=6 또는 x=-6이다. 둘째 식에서는 -y=-8이므로 y=8이다. 절댓값 식에서 x=6만 적으면 해 하나를 빠뜨린다. 부호를 판단하는 과정과 절댓값 계산을 분리해야 두 경우를 모두 보존할 수 있다.
처음 보는 문항에서 확인할 기준
시험 후에는 앞의 식을 그대로 반복하지 않고, 계수와 부호가 달라진 문항을 제시한다. 예를 들어
(3m+1)+(2-|n|)i=10-4i
에서 학생이 먼저 3m+1=10, 2-|n|=-4를 따로 쓰는지 확인한다. 첫 식은 m=3이고, 둘째 식은 |n|=6이므로 n=6 또는 n=-6이다. 실수·허수부분을 분리한 뒤 절댓값의 두 부호 가능성까지 적었다면 새로운 수에서도 같은 판단 절차를 적용한 것이다.
시간이 부족할 때에는 식 옆에 실수부분과 허수부분을 짧게 표시하고 두 조건을 먼저 세운다. 계산이 막히면 해당 문항을 표시해 두었다가 부분 비교와 부호 확인을 마친 뒤 돌아온다. 끝까지 두 조건을 모두 세웠는지를 확인하는 것이 이 유형의 풀이 종료 기준이다.