전농동고2수학과외, 로그함수 교점에서 정의역을 끝까지 확인하는 풀이
“교점 후보가 두 개니까 하나는 음수일 수 있다”는 풀이 한 줄에서 오류가 시작됐다. 문제는 log₂x = 3 - x의 교점 개수를 판단하는 것이었지만, 로그함수의 그래프가 존재하는 범위와 직선의 위치를 따로 확인하지 않은 채 계산 결과만 답에 옮긴 상황이었다.
x≤0인 점에는 로그함수의 그래프가 없다
로그함수 y=log₂x는 밑의 조건 2>0, 2≠1을 만족하지만, 진수 조건 때문에 반드시 x>0이어야 한다. 따라서 교점을 찾을 때도 처음부터
x>0
을 적어야 한다. 학생이 작성한 “x=2와 음수 후보가 모두 교점”이라는 판단은 로그함수의 정의역을 벗어난 값을 포함한 것이므로 성립하지 않는다. 음수 x에서는 log₂x 자체가 실수로 정의되지 않아 직선 y=3-x와 비교할 수 없다.
계산 줄에서 교점의 근거를 확인하기
이 식은 눈으로 바로 해를 찾을 수 있다.
x=2일 때
log₂2=1, 3-2=1
이므로 (2, 1)은 실제 교점이다. 또한
f(x)=log₂x+x-3
로 두면 log₂x와 x가 모두 x>0에서 증가하므로 f(x)도 증가한다. 따라서 방정식 f(x)=0의 해는 하나뿐이다. 그래프에서는 오른쪽으로 갈수록 로그함수와 직선의 차이가 커지며, 정의역 왼쪽에는 애초에 로그함수 그래프가 없다는 점까지 함께 확인해야 한다.
풀이를 고칠 때는 후보를 적은 뒤 바로 다음 줄을 남긴다.
log₂x가 있으므로 x>0 확인 → x=2 대입 → log₂2=3-2=1
이렇게 쓰면 계산 결과뿐 아니라 교점이 원래 식과 정의역을 모두 만족한다는 근거가 보존된다. 전농동의 해성여자고등학교와 해성국제컨벤션고등학교처럼 학교별 귀가 시각과 과제량이 다를 수 있어도, 시험 전 로그함수 문제를 점검할 때는 이 한 줄의 조건 확인을 생략하지 않는 것이 중요하다.
분수와 정수가 섞인 식에서도 같은 기준 유지하기
다음 식으로 풀이 기준을 바꾸어 확인한다.
log₂x = 2 - x/2
먼저 x>0을 적고, x=2를 대입하면
log₂2=1, 2-2/2=1
이므로 x=2가 교점의 후보가 된다. 이번에도
g(x)=log₂x+x/2-2
로 보면 x>0에서 두 항이 모두 증가하므로 해는 하나뿐이다. 따라서 x≤0인 값을 후보로 남기지 않고, x=2를 원래 식에 대입해 확인하면 된다. 숫자와 분수의 모양이 달라져도 “정의역 표시 → 그래프 관계 판단 → 원래 식 대입”의 순서가 유지되는지를 답안에서 확인한다.