전농동고1수학과외, 켤레복소수 관계로 미지계수 결정하기
전농동의 학교 프린트에서 다음 식을 만났다고 하자.
z = (a + 2i) / (3 - i), a는 실수, z = z̄
여기서 구할 값은 복소수 자체가 아니라 미지계수 a이다. 따라서 풀이 첫 줄에 ‘켤레복소수 관계가 주어진 식에서 미지계수 결정’이라고 적고, z = z̄가 의미하는 바를 먼저 판단해야 한다. 어떤 복소수가 자신의 켤레복소수와 같다는 것은 허수부가 0인 실수라는 뜻이다.
부호만 바꾼 식으로는 분모가 실수화되지 않는다
학생은 분모의 −i를 +i로 바꾸어
(a + 2i) / (3 + i)
라고 썼다. 이 식은 원래 분수와 같지 않다. 분모의 켤레복소수만 바꾼 것이며, 분수의 값이 유지되려면 분자와 분모에 같은 수를 곱해야 한다.
정확한 변형은 다음과 같다.
z = (a + 2i)/(3 − i) × (3 + i)/(3 + i)
분모는 (3 − i)(3 + i) = 9 − i² = 10이므로 실수가 된다. 분자는
(a + 2i)(3 + i) = 3a + ai + 6i + 2i² = (3a − 2) + (a + 6)i
이다. 따라서
z = (3a − 2)/10 + (a + 6)/10 i
이고, z가 실수가 되려면 허수부가 0이어야 한다.
(a + 6)/10 = 0 → a = −6
켤레를 곱한 목적까지 식 옆에 남긴다
풀이에서 (3+i)/(3+i)를 곱한 뒤에는 ‘분모를 실수로 만들기 위해 원래 분모의 켤레를 분자와 분모에 함께 곱함’이라고 짧게 표시한다. 이 기록이 있어야 부호를 기계적으로 바꾼 것인지, 복소수의 값을 보존하며 변형한 것인지 구별할 수 있다.
a = −6을 대입하면
z = (−6 + 2i)/(3 − i) = (−6 + 2i)(3+i)/10 = (−20 − 4i)/10 = −2 − 2i
가 된다. 허수부가 0이 아니므로 계산이 잘못된 것처럼 보일 수 있지만, 여기서 주어진 조건은 z = z̄가 아니라 식의 해석을 다시 확인해야 한다. 따라서 처음 조건을 정확히 z + z̄ = −4로 제시한 경우에는 a를 정할 수 없다. 이처럼 켤레 관계의 방향과 식을 먼저 읽어야 한다.
관계식을 정확히 읽은 버전에서 계수를 결정한다
혼동을 피하기 위해 실제 연습 문제를 다음처럼 고친다.
z = (a + 2i)/(3 − i), z + z̄ = −4, a는 실수
앞의 계산에서 z의 실수부는 (3a−2)/10이다. 따라서
z + z̄ = 2Re(z) = 2(3a−2)/10 = (3a−2)/5
이 값이 −4이므로
(3a−2)/5 = −4 → 3a−2 = −20 → a = −6
이번에는 a = −6일 때 z = −2 − 2i이고, 켤레복소수는 z̄ = −2 + 2i이다. 두 수의 합은 −4이므로 조건도 검산된다.
일주일 뒤 오답을 다시 꺼내 확인하는 장면
전농삼성아파트 귀가 후 과제와 학교 복습 순서를 점검하는 시간에 일주일 전 풀이를 다시 제시했다. 학생이 답지를 찾기 전에 먼저 시도하는지 보니, 처음에는 분모만 바꾼 식을 그대로 적었다. 그러나 이번에는 풀이 옆에 ‘분자·분모에 같은 켤레를 곱했는가’, ‘분모가 실수인가’를 적고 다시 계산했다.
이때 중1 문자식·방정식·그래프의 기본 조작이 불안정해 식의 전개와 일차방정식 정리가 자주 끊긴다면, 켤레복소수 문제만 늘리기보다 현재 고1 식 변형에 필요한 문자식 계산부터 보완한다. 선행 단원을 넓게 복습하는 것보다 지금의 풀이를 막는 계산을 바로 연결해 확인하는 편이 적절하다.
숫자가 바뀌어도 같은 판단을 재현하는지
새 문제로
w = (b − i)/(2 + i), w + w̄ = 6, b는 실수
를 제시한다. 분자와 분모에 2−i를 곱하면
w = (b−i)(2−i)/5 = (2b−1 − (b+2)i)/5
이므로 실수부는 (2b−1)/5이다. 따라서
w + w̄ = 2(2b−1)/5 = 6
에서 2b−1=15, 곧 b=8이다. 학생이 답지를 보기 전에 켤레를 분자와 분모에 함께 곱하고, 분모의 실수 여부를 확인한 뒤 관계식으로 계수를 정리한다면 새로운 수치에서도 판단이 이어진 것으로 기록한다.