전농동 고3 수학과외에서 잡아낸 삼각함수 몫의 미분 오류
전농동의 해성여자고등학교와 해성국제컨벤션고등학교 학생을 지도할 때는 귀가 시각과 과제량을 고려해 오답을 다시 분석할 시간을 따로 확보한다. 전농삼성아파트와 전농우성아파트 생활권에서 통학하는 학생도 시험 직전에는 풀이를 전부 지우기보다 어느 줄에서 판단이 어긋났는지 남기는 연습이 필요하다.
부호가 바뀐 첫 번째 중간식
학생은 다음 함수를 미분하며 계산했다.
f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}
몫의 미분법에 따라 분자는 “분모×분자의 미분 − 분자×분모의 미분”이어야 한다.
f'(x)=\frac{(1+\cos x)\cos x-\sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}
그런데 학생의 풀이에는 다음과 같이 분자의 순서가 뒤집혀 있었다.
f'(x)=\frac{\sin x(-\sin x)-(1+\cos x)\cos x}{(1+\cos x)^2}
이 식은 오답이다. 올바른 분자의 반대이므로 전체 도함수의 부호가 반대로 바뀐다. 학생은 맞게 쓴 앞부분까지 지우고 다시 계산했지만, 실제로는 첫 번째 중간식의 ‘분모×분자 미분’과 ‘분자×분모 미분’의 순서를 확인했어야 했다.
식·그래프·정의역을 함께 확인하기
틀린 줄에 색연필로 표시한 뒤, 문자 메모를 남긴다.
- 실패 지점: 첫 항과 둘째 항의 순서를 뒤집음
- 변수 관계: 분자 u=sin x, 분모 v=1+cos x이므로 u/v의 분자는 vu'-uv'임
- 식 수정: (1+cos x)cos x−sin x(−sin x)
- 정리: cos x+cos²x+sin²x=1+cos x
따라서
f'(x)=\frac{1+\cos x}{(1+\cos x)^2}=\frac{1}{1+\cos x}
단, 원래 함수와 정리한 도함수 모두 1+cos x≠0인 곳에서만 의미가 있으므로 x=(2k+1)π는 정의역에서 제외한다. x=0을 대입하면 원래 함수의 변화율은
f'(0)=\frac{1}{1+\cos0}=\frac12
이다. 학생의 오답은 −1/2가 되어 그래프에서 x=0 부근의 증가 방향과도 맞지 않는다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 공식을 반복하지 않기 위해 계수와 분모를 바꾼 함수로 확인했다.
g(x)=\frac{2\sin x}{3+\cos x}
이번에는
g'(x)=\frac{(3+\cos x)(2\cos x)-2\sin x(-\sin x)}{(3+\cos x)^2}
이고, 분자는
6\cos x+2\cos^2x+2\sin^2x=6\cos x+2
가 된다. 따라서
g'(x)=\frac{2(3\cos x+1)}{(3+\cos x)^2}
x=0에서 계산하면 g'(0)=\frac{8}{16}=\frac12이다. 분자 순서를 뒤집으면 −1/2가 되므로, 두 문제 모두 계산량보다 몫의 미분에서 정해진 항의 순서를 유지하는 것이 핵심임을 확인할 수 있다.