장안동고2수학과외, 로그함수 교점에서 정의역을 먼저 판별하는 풀이
로그함수의 대소 비교에서는 계산 결과만 보는 것이 아니라, 두 식이 실제로 정의되는 범위를 먼저 확인해야 한다. 장안동의 고등학교 시험 범위와 학교 프린트 문제를 함께 정리할 때도 이 판단이 빠지면 교점의 개수와 해의 범위가 달라질 수 있다.
log2x와 3-x의 교점 후보를 그대로 답에 넣은 경우
다음 두 함수의 교점을 생각해 보자.
y=log2x, y=3-x
계산 흔적에는 그래프를 보고 교점 후보를 x=-1, 2로 적은 뒤, 두 값을 모두 대입하려 한 기록이 남아 있었다. 그러나 로그함수 y=log2x는 진수 조건 때문에 처음부터
x>0
에서만 정의된다. 따라서 x=-1에서는 log2(-1)을 실수 범위에서 계산할 수 없고, 교점 후보가 될 수 없다.
x=2는 실제로
log22=1, 3-2=1
을 만족하므로 교점은 (2, 1)이다. 또한 x>0에서 log2x는 증가하고 3-x는 감소하므로 두 그래프의 교점은 하나뿐이다.
정의역을 쓰는 순간 달라지는 한 기호
답안의 두 줄을 나란히 놓으면 오류가 분명해진다.
| 잘못 적은 줄 | 수정한 줄 |
|---|---|
| log2x에서 x≥0 | log2x에서 x>0 |
0도 진수가 될 수 없으므로 x≥0이 아니라 x>0이다. 이후 교점 후보를 적을 때는 각 후보 옆에 정의역을 통과했는지 표시한다.
x=-1 → x>0에 어긋남, 제외
x=2 → x>0에 맞고 원래 식에서 1=1, 채택
조건을 바꾼 교점 문제에서 스스로 걸러내기
이번에는 힌트 없이 다음 비교를 정리한다.
log3(x+1)와 4-x의 교점
먼저 로그의 진수 조건은 x+1>0, 즉 x>-1이다. 따라서 x=-2처럼 계산 과정이나 그래프 판독에서 나온 값은 교점 후보로 남길 수 없다. 풀이 중 막힌 지점에는 임의로 답을 이어 쓰지 말고, “진수 조건 확인”이라고 직접 표시해야 한다.
이처럼 새로운 밑과 진수가 등장해도 밑 3이 0보다 크고 1이 아니며, x+1>0을 먼저 적은 뒤 교점 후보를 검토하면 정의되지 않는 값을 답에 포함하는 오류를 막을 수 있다.