장안동고1수학과외: 복소수 식을 실수로 만드는 계수 조건
동국대학교사범대학부속고등학교의 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 정리할 때, 복소수 계산 결과의 허수부를 0으로 만드는 조건을 놓치면 계수값을 구할 수 없다. 장안동에서 평일 귀가 후 짧게 풀이하는 경우에도 계산보다 먼저 “값이 실수가 되려면 허수부가 0이어야 한다”는 판단을 말로 확인하는 과정이 필요하다.
계산을 끝내고도 조건을 쓰지 않은 답안
문제에서 (a+2i)(1-3i)가 실수가 되도록 실수 a의 값을 구하라고 했다. 학생은 전개한 뒤 다음과 같이 적었다.
(a+2i)(1-3i)=a-3ai+2i-6i²=a+6+(2-3a)i
여기까지의 전개는 맞다. 그러나 학생은 허수부의 계수인 2-3a를 0으로 두지 않고, 식에 나타난 a+6을 답처럼 적었다. 답안에는 왜 a를 정하는지에 대한 조건 표시도 없었다.
실수라는 말이 식에 요구하는 것
복소수는 일반적으로 실수부+허수부의 형태로 나타낸다. 위 식은
(a+6)+(2-3a)i
이므로 실수부는 a+6, 허수부의 계수는 2-3a이다. 복소수의 값이 실수가 되려면 i가 붙은 항 전체가 사라져야 하므로
2-3a=0
이어야 한다. 따라서 3a=2이고, a=2/3이다. 이때 원래 식의 값은 실수부인 a+6에 대입하여 2/3+6=20/3이 된다. 계수 a의 조건과 식의 최종값을 서로 다른 대상으로 구분해야 한다.
풀이의 첫 줄에 판단을 남기는 훈련
학생에게 같은 식을 다시 계산하게 할 때는 곧바로 전개하지 않고 다음 문장을 먼저 쓰게 한다.
실수가 되려면 허수부의 계수가 0이어야 한다.
그 뒤 전개 결과에서 i가 붙은 부분만 표시한다.
- 전개: (a+2i)(1-3i)=a+6+(2-3a)i
- 허수부 조건: 2-3a=0
- 계수값: a=2/3
- 검산: (2/3+2i)(1-3i)=20/3
검산에서 허수항이 실제로 없어지는지 확인하면, a+6을 답으로 잘못 고르는 오류와 조건을 생략하는 습관을 함께 확인할 수 있다. 답을 적은 뒤에는 계수값의 부호와 범위를 별도로 살펴 a=2/3이 조건식에 맞는지도 확인한다.
서술형 문장을 식으로 바꾸는 연습
수행평가 자료를 지필형 문제로 바꾸어 다음과 같이 제시한다.
실수 p에 대하여 (p-4i)(2+i)의 값이 실수가 되도록 p를 정하고, 그때의 실수값을 구하여라.
학생이 문장 속 숫자를 모두 따로 적는 대신, 곱셈에 필요한 두 인수와 “허수부가 0”이라는 관계를 골라 식을 세우는지 본다.
(p-4i)(2+i)=2p+pi-8i-4i²=(2p+4)+(p-8)i
따라서 p-8=0이므로 p=8이다. 원래 식의 값은 2p+4에 p=8을 대입한 20이다. 학생이 p=8만 쓰고 20을 누락하거나, 2p+4=0으로 잘못 설정한다면 ‘계수 조건’과 ‘실수값’을 구분하는 연습이 더 필요하다.
새 조건에서 확인할 답안의 흔적
청량고등학교, 해성여자고등학교, 휘경여자고등학교, 경희여자고등학교는 장안동 소재 학교가 아니라 같은 동대문구의 참고 학교이므로, 학교별 시험 범위를 임의로 단정하지 않고 변형 문항 자체로 적용 여부를 확인한다.
마지막 문제는 실수 q에 대하여 (2+qi)(q-i)의 값이 실수가 되도록 q를 정하고 그 값을 구하여라로 바꾼다.
(2+qi)(q-i)=2q-2i+q²i-q i²=(q²+2q)+(q-2)i
학생이 먼저 “허수부의 계수를 0으로 둔다”고 말하고 q-2=0을 세운다면 q=2이다. 이때 실수값은 q²+2q=4+4=8이다. 식, 허수부 조건을 세운 근거, 최종 결론을 각각 답안에 남기는지까지 확인해야 이전 훈련이 실제로 유지된 것으로 볼 수 있다.