장안동 고3 수학과외: 삼각함수 몫을 미분할 때 분모와 각의 조건 확인하기
동대문구 장안동의 고3 학생은 동국대학교사범대학부속고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 미분 단원을 복습하고 있다. 같은 동대문구의 청량고등학교·해성여자고등학교·휘경여자고등학교·경희여자고등학교는 참고 가능한 학교이지만 장안동 소재 학교와 구분해 보아야 한다.
답안 여백에서 드러난 분모 처리 오류
학생은 다음 함수를 미분하면서 계산 중간에 분모의 제곱을 빠뜨렸다.
f(x) = sin x / cos x
학생의 오답은 다음과 같다.
f′(x) = {cos x · cos x − sin x · (−sin x)} / cos x
= (cos²x + sin²x) / cos x = 1 / cos x
이 식은 틀린 식이다. 몫의 미분법에서 분모가 g(x)일 때 전체 분모는 g(x)²이어야 하므로, cos x를 한 번만 남긴 것이 오류다. 정확한 계산은 다음과 같다.
f′(x) = {(cos x)(cos x) − (sin x)(−sin x)} / cos²x
= (cos²x + sin²x) / cos²x = 1 / cos²x
단, cos x ≠ 0이어야 하므로 x ≠ π/2 + kπ이다. 또 삼각함수의 미분 공식은 각을 라디안으로 측정할 때 적용된다. 따라서 문제를 읽은 뒤 먼저 각의 단위와 분모가 0이 되는 범위를 표시해야 한다.
틀린 줄을 표시하고 역검산하는 방법
- 학생은 답안에서 분모가 cos x로 남은 줄에 밑줄을 긋는다.
- 몫의 구조를 분자 u(x), 분모 v(x)로 분리해 v(x)=cos x임을 확인한다.
- 공식 (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²에 대입해 분모를 cos²x로 수정한다.
- sin²x + cos²x = 1을 적용해 최종식을 1/cos²x로 정리한다.
- x=0을 대입해 원래 함수 sin x/cos x=tan x의 도함수 sec²x와 일치하는지 확인한다. 두 값 모두 1이므로 수정된 식이 맞다.
이 과정은 계산을 반복하는 것이 아니라, 분모 함수와 정의역 조건의 관계를 먼저 확인하는 훈련이다. 특히 cos x=0인 점에서는 원래 함수 자체가 정의되지 않으므로 도함수의 값을 대입해 확인할 수도 없다.
계수를 바꾼 문제로 독립 확인하기
같은 식을 그대로 반복하지 않고 다음 문제를 새로 풀어 본다.
g(x) = sin 2x / cos x를 미분하라. 단, x는 라디안이고 cos x ≠ 0이다.
몫의 미분법을 적용하면
g′(x) = {(2cos 2x)(cos x) − (sin 2x)(−sin x)} / cos²x
= {2cos 2x cos x + sin 2x sin x} / cos²x
학생은 이번에는 해설을 보지 않고 분모 제곱을 먼저 표시한 뒤 계산한다. x=0을 대입하면 g′(0)=2가 된다. 분모를 cos x로 잘못 적은 후보도 x=0에서는 같은 값이 나올 수 있으므로, x=π/3을 추가로 대입해 후보를 비교한다. 이처럼 한 점의 검산에만 의존하지 않고 계수와 각을 바꾸어 식의 구조가 유지되는지 확인한다.