로그함수의 값의 범위, 점근선과 단조성으로 다시 판단하기
이문동고2수학과외에서는 이문동삼익아파트나 이문동쌍용아파트처럼 생활권과 통학 거리가 다른 학생들의 풀이 시간을 고려하되, 수업에서는 답만 외우지 않고 식의 구조를 확인한다. 특히 이문동 주소에 고등학교가 확인되지 않는 만큼, 동대문구 내 여러 학교의 프린트와 내신 문항에서 자주 바뀌는 표현을 독립적으로 해석하는 연습이 필요하다.
전체 실수라고 적은 한 줄에서 빠진 조건
다음 함수의 값의 범위를 구하는 문제에서 답안에 다음과 같은 풀이가 남았다.
문제: \(y=\log_2 x\), \(1\le x\le4\)일 때 \(y\)의 값의 범위를 구하여라.
| 잘못된 줄 | 수정한 줄 |
|---|---|
| \(y\in\mathbb{R}\) | \(y\in[0,2]\) |
달라진 기호는 \(\mathbb{R}\rightarrow[0,2]\)이다. 로그함수의 정의역 전체에서는 값이 모든 실수가 될 수 있지만, 이 문제의 \(x\)는 \(1\le x\le4\)로 제한되어 있다. 밑 \(2>1\)이므로 \(y=\log_2x\)는 증가함수이고, 양 끝값만 계산하면
\[ y(1)=\log_2 1=0,\qquad y(4)=\log_2 4=2 \]
이므로 값의 범위는 \(0\le y\le2\)이다. 점근선 \(x=0\)은 그래프의 전체 모양을 이해하는 데 필요하지만, 주어진 구간이 \(1\le x\le4\)일 때 범위를 전체 실수로 넓혀 주지는 않는다.
계수와 부호가 바뀌면 범위의 순서도 바뀐다
값의 범위 변형에서는 먼저 로그 부분의 범위를 구한 뒤, 앞의 계수와 바깥의 수를 적용해야 한다. 예를 들어
\[ y=3-2\log_2\left(\frac{x}{4}\right),\qquad 2\le x\le8 \]
를 보자. \(x/4\)가 양수이고 밑이 \(2\)이므로 로그가 정의된다. 또한
\[ \frac{x}{4}\in\left[\frac12,2\right] \]
이고 로그함수는 증가하므로
\[ \log_2\left(\frac{x}{4}\right)\in[-1,1]. \]
여기에 \(-2\)를 곱하면 부등호의 순서가 뒤집혀 \([-2,2]\)가 되고, \(3\)을 더하면
\[ y\in[1,5] \]
이다. 원래 로그식의 증가는 앞의 계수 \(-2\) 때문에 \(y\)에서는 감소로 바뀐다. 따라서 \(x=2\)에서 \(y=5\), \(x=8\)에서 \(y=1\)이 된다.
식의 순서를 바꾸어도 점근선과 단조성을 먼저 찾는가
다음처럼 표현 순서를 바꾼 식을 제시한다.
\[ y=-2\log_2\left(\frac{x}{4}\right)+3,\qquad 2\le x\le8 \]
이때 먼저 확인할 내용은 세 가지다.
- 로그의 진수 \(x/4\)가 양수인지 확인한다.
- \(\log_2(x/4)\)의 범위가 \([-1,1]\)임을 구한다.
- 계수 \(-2\) 때문에 증가가 감소로 바뀌는지 확인한 뒤 \(3\)을 더한다.
학생이 다시 \(y\in[-1,1]\)이라고 쓰면 바깥의 \(-2\)와 \(+3\)을 적용하지 않은 것이다. 반대로 \(y\in[1,5]\)를 적고 \(x=2\)에서 큰 값, \(x=8\)에서 작은 값인지까지 대입하면 표현이 달라져도 점근선 \(x=0\), 단조성, 계수의 부호를 연결한 것으로 판단할 수 있다.