이문동고3수학과외

이문동 생활권 고3 수학과외: 주기와 계수가 바뀐 삼각함수 곱의 미분

이문동삼익아파트와 이문동쌍용아파트처럼 주거지에서 통학 거리가 다른 학생은 문제를 푸는 데 쓸 수 있는 시간이 달라질 수 있다. 동대문구 통학권의 동국대학교사범대학부속고등학교, 청량고등학교, 해성여자고등학교, 휘경여자고등학교 등에서 공부하는 고3 학생도 생활 리듬에 맞춰 짧은 시간 안에 풀이의 핵심 조건을 확인하는 연습이 필요하다.

한 항으로 착각한 미분

학생은 다음 함수를 미분하면서 곱의 구조를 놓쳤다.

f(x)=x²sin 2x

계산지에는 다음과 같이 적혀 있었다.

f'(x)=2x sin 2x

이 식은 틀린 식이다. x²와 sin 2x가 곱해져 있으므로 한 항만 미분할 수 없다. 곱의 미분법과 연쇄법칙을 함께 적용해야 한다.

u(x)=x², v(x)=sin 2x로 두면

u'(x)=2x,　v'(x)=2cos 2x

따라서

f'(x)=2x sin 2x+2x²cos 2x

학생은 또 f'(x)=0에서 sin 2x=0인 경우만 남겼다. 그러나

2x sin 2x+2x²cos 2x=2x(sin 2x+x cos 2x)

이므로 x=0도 후보이고, sin 2x+x cos 2x=0인 해도 따로 조사해야 한다. 문제의 구간이 0≤x≤π/2라면 끝점 0과 π/2가 포함되는지 먼저 표시한 뒤, 각 후보를 원래 도함수에 대입해야 한다. 단순히 sin 2x=0만 확인하면 내부 후보를 누락하게 된다.

틀린 줄을 직접 고치는 순서

• 틀린 줄 표시: f'(x)=2x sin 2x
• 조건과 변수 관계 확인: x²와 sin 2x는 곱이며, sin의 안쪽 함수 2x도 미분해야 한다.
• 식 수정: f'(x)=2x sin 2x+2x²cos 2x
• 인수분해: f'(x)=2x(sin 2x+x cos 2x)
• 검산: x=π/2를 대입하면 f'(π/2)=π²cos π=-π²이므로 0이 아니다.

이 대입 검산으로 끝점이라고 해서 자동으로 극값 후보가 되는 것은 아님을 확인할 수 있다. 또한 x=0에서는 f'(0)=0이지만, 끝점에서의 극값 판단은 함수값과 한쪽 주변의 변화까지 함께 살펴야 한다.

주기를 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않도록 다음 문제로 확인했다.

g(x)=x³cos 3x일 때 g'(x)를 구하여라.

곱의 미분법과 연쇄법칙을 적용하면

g'(x)=3x²cos 3x-3x³sin 3x

이다. cos 3x를 미분할 때 -sin 3x뿐 아니라 안쪽 계수 3까지 곱해야 한다. 예를 들어 x=π/3을 대입하면

g'(π/3)=3(π/3)²cos π-3(π/3)³sin π=-π²/3

이므로 도함수는 0이 아니다. 주기와 계수가 2x에서 3x로 바뀌어도 곱의 두 항을 모두 미분하고, 합성함수의 계수를 반영한 뒤, 후보를 원래 식에 대입해 제거하는 과정은 변하지 않는다.