이문동고1수학과외, 복소수의 실수부와 허수부를 분리하는 법
이문동의 주거지에서 학교까지 이동하는 거리와 귀가 시간이 학생마다 다르더라도, 복소수 문제를 풀 때 반드시 남겨야 할 수학적 흔적은 같다. 미지 복소수를 실수부와 허수부를 가진 두 미지수로 바꾸고, 실수항과 허수항을 각각 비교해야 한다.
i 앞의 부호를 놓치면 허수부분이 달라진다
학교 프린트의 다음 문제에서 풀이가 멈췄다고 하자.
복소수 z가 (2-i)z=7+i를 만족할 때 z를 구하여라.
학생은 여백에 “z=a+bi”라고 적은 뒤, 문제의 “−i”를 절댓값처럼 읽어 허수부분을 양수로 두었다. 따라서 실제로는 z=a+bi를 쓰면서도 풀이 중에 b=1처럼 처리하려 했다. 여기서 확인하지 않은 것은 i 앞 계수의 부호와, 미지 복소수의 실수·허수부분을 두 미지수로 나누어 비교하는 과정이다.
복소수식을 두 실수식으로 바꾸는 과정
z=a+bi라 두면
(2-i)(a+bi)=2a+2bi-ai-bi2
이고 i2=−1이므로
(2-i)(a+bi)=(2a+b)+(2b-a)i
가 된다. 우변 7+i와 실수부, 허수부를 각각 비교하면
- 2a+b=7
- 2b-a=1
이다. 두 번째 식에서 a=2b-1이므로 첫 번째 식에 대입하면 2(2b-1)+b=7, 즉 5b=9이다. 따라서 b=9/5, a=13/5이고
z=13/5+9/5i
가 정답이다. 허수부분은 9/5이며, 식에 나타난 “−i”의 부호를 그대로 반영해야 한다.
계산 전에 남기는 짧은 확인표
이 학생에게는 긴 풀이 설명보다 다음 체크 항목을 식 옆에 직접 표시하게 했다.
- z=a+bi에서 a는 실수부, b는 허수부
- i 앞 계수의 부호를 그대로 기록
- 전개 후 실수항과 i항을 분리
- 실수부끼리, 허수부끼리 비교
특히 “미지 복소수의 실수·허수부분을 두 미지수로 두어 해결”이라는 문장을 풀이 여백에 적고, a와 b를 실제로 표시한 뒤 계산을 이어 가게 한다. 이 기록은 단순한 구호가 아니라, 복소수 하나를 두 실수 미지수의 연립방정식으로 전환했다는 증거가 된다.
이항보다 먼저 확인할 양변의 같은 연산
조건이 바뀌어 (1+2i)z=5−i이고 z=a+bi라면 전개 결과는
(1+2i)(a+bi)=(a−2b)+(2a+b)i
이다. 따라서
- a−2b=5
- 2a+b=−1
을 얻는다. 첫 번째 식에서 a=5+2b로 바꿀 때 “이항했다”고만 말하지 않고, 양변에 2b를 더했다고 설명해야 한다. 두 번째 식에 대입하면 2(5+2b)+b=−1, 즉 5b=−11이므로 b=−11/5, a=3/5이다. 그러므로 z=3/5−11/5i이다.
조건을 늘린 서술형으로 확인하기
마지막에는 “(1+2i)z=5−i이고 z의 실수부가 양수일 때 z를 구하여라”처럼 조건을 하나 추가한 문제를 제시한다. 학생이 a=3/5, b=−11/5를 구한 뒤, “실수부 a가 양수이므로 추가 조건도 만족한다”고 근거를 말하는지 확인한다.
정답만 말하는 대신 z=a+bi 설정, 부호 기록, 실수·허수부 비교, 양변에 적용한 연산을 순서대로 설명하면 새로운 계수와 부호에서도 같은 방법을 스스로 재현한 것으로 기록한다.