용두동고2수학과외

용두동고2수학과외, 로그함수의 치역을 그래프의 양 끝점으로 확인하기

“값의 범위는 모든 실수”라는 풀이가 여백 계산에 그대로 남아 있었다. 식 자체는 y = log₂x였지만, 문제에서 제시한 정의역 x ∈ [1, 4]를 사용하지 않은 것이 오류의 출발점이었다.

x ∈ [1, 4]에서 y의 범위는 왜 [0, 2]인가

로그함수 y = log₂x는 밑이 2이므로 증가함수이다. 따라서 정의역의 양 끝값에 대응하는 함수값을 계산하면 된다.

x = 1일 때
y = log₂1 = 0

x = 4일 때
y = log₂4 = 2

그러므로 주어진 구간에서의 치역은

0 ≤ y ≤ 2

이다. 로그함수 전체의 정의역은 x > 0이고 치역은 모든 실수이지만, 이 문제에서는 정의역을 [1, 4]로 제한했으므로 치역도 함께 제한된다. 그래프에서는 (1, 0)부터 (4, 2)까지의 부분만 보는 셈이다.

“전체 실수”라고 적은 계산 줄에서 조건을 되살리기

학생의 답안에는 다음과 같은 문장이 있었다.

여백 계산에는 x ∈ [1, 4]인 y = log₂x의 값의 범위를 전체 실수로 적는다.

이 판단은 함수 자체의 치역과 제한된 구간에서의 치역을 구분하지 않은 것이다. 답안의 해당 줄을 지운 뒤, 바로 옆에 “정의역 제한: 1 ≤ x ≤ 4”를 먼저 적게 했다. 그다음 밑이 2보다 크므로 증가함수임을 표시하고 끝점만 대입한다.

1 ≤ x ≤ 4 → log₂1 ≤ log₂x ≤ log₂4 → 0 ≤ y ≤ 2

이렇게 쓰면 그래프의 방향과 계산 결과가 한 줄에 연결된다. 반대로 밑이 0과 1 사이였다면 함수가 감소하므로 끝점의 대소 관계가 뒤집힌다는 점도 함께 구분해야 한다.

범위가 바뀐 문제에서 끝점과 증가성을 다시 확인하기

학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 조정해야 하는 동대문구 통학권 학습에서도 이 판단은 짧은 풀이 기록으로 확인할 수 있다. 앞의 예제를 가린 뒤 다음 문제를 제시한다.

함수 y = log₃(x - 1)의 정의역이 2 ≤ x ≤ 10일 때 치역을 구하여라.

먼저 진수 조건은 x - 1 > 0이고, 주어진 구간 [2, 10]은 이를 만족한다. 밑 3은 1보다 크므로 함수는 증가한다.

x = 2일 때 y = log₃1 = 0
x = 10일 때 y = log₃9 = 2

따라서 치역은 0 ≤ y ≤ 2이다. 이번에는 이전 식의 숫자를 그대로 기억하는 것이 아니라, 정의역의 끝점과 밑의 증가 여부를 스스로 적었는지가 확인 기준이다.