용두동 고3 수학과외: 삼각함수 곱의 미분에서 첫 오류 찾기
서울특별시 동대문구 용두동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 동국대학교사범대학부속고등학교·청량고등학교·해성여자고등학교·휘경여자고등학교·경희여자고등학교 등 동대문구 내 학교의 통학권을 참고해 평일 귀가 시간과 학교별 시험 범위를 함께 고려하는 방식으로 학습을 조정한다.
맞는 중간식을 지우기 전에 달라진 첫 줄 확인하기
학생은 다음 함수의 도함수가 0이 되는 값을 구하는 문제에서 풀이를 시작했다.
f(x)=sin x cos x, 0≤x≤π
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
f'(x)=cos x
cos x=0이므로 x=π/2
이 식은 오답이다. sin x와 cos x가 곱해져 있으므로 곱의 미분법을 적용해야 한다. 첫 번째 인자를 미분한 항뿐 아니라 두 번째 인자를 미분한 항도 포함해야 한다.
(uv)'=u'v+uv'이므로
f'(x)=cos x·cos x+sin x·(-sin x)=cos²x−sin²x
따라서 f'(x)=0이면
cos²x−sin²x=0
cos²x=sin²x
주어진 범위에서 후보값은 x=π/4, 3π/4이다. 학생은 해설과 달라진 첫 줄인 f'(x)=cos x에 밑줄을 긋고, 그 뒤의 계산을 전부 지우지 않은 채 어느 미분 항이 빠졌는지 표시해야 한다.
후보값마다 조건과 원식을 역검산하기
풀이 옆 네모칸에 먼저 허용 범위: 0≤x≤π를 적는다. 그다음 후보값을 하나씩 대입한다.
- x=π/4: cos²(π/4)−sin²(π/4)=1/2−1/2=0
- x=3π/4: cos²(3π/4)−sin²(3π/4)=1/2−1/2=0
반대로 오답에서 나온 x=π/2를 원래 도함수에 대입하면
f'(π/2)=cos²(π/2)−sin²(π/2)=0−1=−1
이므로 x=π/2는 해가 아니다. 학생은 계산 결과만 비교하지 않고, 곱의 두 항이 모두 살아 있는지, 후보값이 주어진 구간에 들어가는지, 원래 도함수에 대입했을 때 0이 되는지를 차례로 확인한다.
표현을 바꾼 독립 검증
같은 함수를 곱이 아닌 몫으로 나타내면
f(x)=sin x cos x=sin x/sec x
이다. 몫의 미분법으로
f'(x)=\frac{cos x·sec x−sin x·sec x tan x}{sec²x}
가 된다. x=π/4를 대입하면 분자는
cos(π/4)sec(π/4)−sin(π/4)sec(π/4)tan(π/4)=1−1=0
이므로 도함수도 0이다. 표현이 곱에서 몫으로 바뀌어도 미분의 두 항을 모두 확인해야 하며, 한 항을 빠뜨리면 같은 기준으로 오류를 찾아낼 수 있다.