용두동고1수학과외: 복소수 제곱이 실수가 되는 조건
복소수 문제에서 답만 맞히고 근거를 남기지 않으면, 식의 모양이 바뀌었을 때 같은 판단을 반복하기 어렵다. 용두동 지역은 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 동대문구 내 통학권 참고 학교의 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 살피며 짧은 시간에도 조건을 설명하는 연습을 진행할 수 있다.
제곱한 뒤 허수부가 어디에서 생기는가
복소수 \(z=a+bi\)의 제곱은 다음과 같다.
\[ z^2=(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=(a^2-b^2)+2ab i \]
이 수가 실수가 되려면 허수부의 계수 \(2ab\)가 0이어야 한다. 따라서
\[ 2ab=0 \quad\Longrightarrow\quad a=0\ \text{또는}\ b=0 \]
즉 \(z\)가 실수인 경우 \(b=0\), 순허수인 경우 \(a=0\)에 해당한다. 두 조건을 동시에 요구하는 것이 아니라 둘 중 하나면 충분하다.
답은 맞았지만 사라진 근거
예를 들어 \(z=(x+1)+(y-3)i\)일 때 \(z^2\)이 실수가 되는 조건을 묻는 문제를 살펴보자. 실제로 전개하면
\[ z^2=\{(x+1)^2-(y-3)^2\}+2(x+1)(y-3)i \]
따라서 조건은
\[ 2(x+1)(y-3)=0 \]
이고, 결과는 \(x=-1\) 또는 \(y=3\)이다.
그런데 학생의 답안에는 조건식 없이 바로 “\(x=-1\) 또는 \(y=3\)”만 적혀 있었다. 정답 자체는 맞지만, 왜 두 값을 얻었는지 보여 주는 허수부 \(2(x+1)(y-3)\)가 빠져 있었다. 맞힌 뒤 곧바로 다음 계산으로 넘어가면서 제곱식의 실수부와 허수부를 구분한 흔적도 남기지 않은 것이다.
계산 전에 한 줄을 고정하기
이 유형에서는 전개 전체를 길게 쓰기보다 허수부를 먼저 표시한다. 예를 들어 \(z=3-2i\)이면
\[ z^2=(3-2i)^2=9-12i+4i^2=5-12i \]
허수부가 \(-12\)이므로 실수가 아니다. 반대로 \(z=5i\)이면
\[ z^2=(5i)^2=-25 \]
허수부가 0이므로 실수이다. 학생은 답을 말하기 전에 “제곱한 식의 허수부 계수가 0이어야 한다”라는 근거를 한 줄로 말하고, 그다음 \(2ab=0\)을 계산한다. 이 과정을 거치면 \(a^2-b^2\)의 값만 보고 판단하는 오류도 줄어든다.
표현 순서가 달라진 자료에서 확인하기
수행평가에서 식이 \(z=a+bi\) 형태가 아니라 \(z=bi+a\)처럼 제시되거나, 전개된 식의 실수부와 허수부가 다른 순서로 배치될 수 있다. 새 문제로
\[ w=(p-2)+(q+3)i \]
의 제곱이 실수가 되는 조건을 확인하게 한다. 학생은
\[ w^2=\{(p-2)^2-(q+3)^2\}+2(p-2)(q+3)i \]
에서 허수부의 계수를 찾아
\[ 2(p-2)(q+3)=0 \]
을 세운 뒤 \(p=2\) 또는 \(q=-3\)을 얻어야 한다. 숫자와 문자, 항의 배치가 바뀌어도 같은 근거를 스스로 남기는지가 검증 지점이다.
막힌 위치를 설명하는 마지막 확인
정답만 채점하지 않고 “허수부를 0으로 두는 단계에서 막혔다” 또는 “두 인수 중 하나가 0이라는 조건을 빠뜨렸다”처럼 막힌 지점을 한 문장으로 쓰게 한다. 학교 프린트와 수행평가 자료의 제시 방식이 달라져도 이 문장을 근거와 함께 작성하면, 복소수의 제곱이 실수가 되는 조건을 새로운 계산·자료·설명 문제에 다시 적용했는지 확인할 수 있다.