신설동고2수학과외

신설동 고2수학과외: 로그함수의 값의 범위는 정의역에서 결정된다

방과 후 통학을 마치고 확보한 자습 시간에 로그함수의 서술형 답안을 확인하던 중, 계산 자체보다 정의역을 답안에서 지워 버린 흔적이 발견됐다. 신설동의 대광고등학교와 동대문구 내 참고 학교의 고2 수학 학습에서도 로그함수의 범위를 구할 때는 식만 보지 말고, 문제에 주어진 입력값의 범위를 끝까지 유지해야 한다.

구간이 붙은 순간 로그함수의 값의 범위가 달라진다

다음 함수의 값의 범위를 구해 보자.

y = log₂x, 1 ≤ x ≤ 4

밑 2는 1보다 크므로 로그함수는 증가한다. 따라서 정의역의 양 끝값을 함수에 대입하면 된다.

y(1) = log₂1 = 0,
y(4) = log₂4 = 2

그러므로 이 조건에서의 값의 범위는 0 ≤ y ≤ 2이다.

전체 로그함수와 제한된 로그함수를 구분한 답안

풀이 과정에서 “로그함수의 치역은 모든 실수”라고 적는 경우가 있다. 이는 정의역이 x > 0인 전체 함수 y = log₂x를 말할 때에는 맞지만, 현재 문제처럼 1 ≤ x ≤ 4라는 제한이 붙으면 그대로 적용할 수 없다.

학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

“log₂x의 값의 범위는 모든 실수이다.”

이 답은 함수의 기본 치역만 떠올리고 주어진 정의역을 반영하지 않은 것이다. x가 양수라는 조건만 사용한 것이 아니라, 문제에서 지정한 1 ≤ x ≤ 4 안에서만 움직이므로 y도 0부터 2까지만 변한다.

조건·계산·검산 세 칸으로 오류 위치를 고정하기

범위 문제를 풀 때 답안을 세 칸으로 나누어 기록한다.

전체 실수를 답으로 적었다면 세 칸 중 첫 번째 조건을 빠뜨린 오류인지, 끝값 계산 오류인지, 마지막 검산에서 증가성을 확인하지 않은 오류인지 표시한다. 예를 들어 이 문제에서는 조건 칸에 정의역을 남기지 않은 것이 출발점이다. 조건 칸을 먼저 다시 쓴 뒤 계산과 검산을 이어 가야 한다.

밑이 1보다 작은 변형에서 범위 방향 확인하기

다음 문제에서는 숫자와 밑을 바꾼다.

y = log_1/3(x + 2), −1 ≤ x ≤ 7

먼저 진수 조건을 확인하면 x + 2 > 0이고, 주어진 구간 −1 ≤ x ≤ 7에서는 진수가 1 ≤ x + 2 ≤ 9이다. 밑 1/3은 0과 1 사이이므로 로그함수는 감소한다.

양 끝값을 계산하면

y(−1) = log_1/31 = 0,
y(7) = log_1/39 = −2

따라서 값의 범위는 순서를 정리하여 −2 ≤ y ≤ 0이다. 정의역을 전체로 착각하지 않았는지, 감소함수에서 큰 x에 더 작은 y가 대응하는지도 검산해야 한다.

통학 뒤 짧게 확보한 자습 시간에는 계산 칸만 반복해서 채우기보다, 각 문제의 조건 칸에 정의역과 밑의 범위를 먼저 적고 마지막에 실제 양 끝값을 대입해 답의 구간을 확인하는 방식이 효과적이다.