신설동고1수학과외, 순허수 조건을 실수부 식으로 바꾸기
복소수 문제에서 순허수라는 조건은 모양을 보고 판단하는 말이 아니라, 실수부분이 0이라는 식으로 바꾸어 적용해야 한다. 신설동에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 짧은 자습시간에 복소수 문제를 풀 때도 이 조건을 먼저 표시하는 습관이 풀이의 출발점이 된다.
곱셈 결과에서 실수부분을 분리하는 장면
다음 복소수가 순허수가 되도록 하는 실수 a를 구해 보자.
(a+2i)(1-i)
항을 계산하면
(a+2i)(1-i)=a-ai+2i-2i2=(a+2)+(2-a)i
따라서 이 복소수의 실수부분은 a+2, 허수부분의 계수는 2-a이다. 순허수는 실수부분이 0이어야 하므로
a+2=0
에서 a=-2를 얻는다. 이때 허수부분의 계수는 2-(-2)=4이므로 결과는 4i이며 실제로 순허수이다.
한 줄에서 두 부분을 섞어 비교한 오답
관찰된 풀이에서는 곱셈 전개 뒤 식을 (a+2)+(2-a)i로 적었지만, 실수부분과 허수부분을 따로 표시하지 않았다. 이어서 a+2와 2-a를 한 줄에서 함께 비교하다가 a+2=2-a를 세웠다.
이 식에서 a=0을 얻지만, a=0을 원래 식에 넣으면 결과는 2+2i가 되어 순허수가 아니다. 잘못된 지점은 두 계수를 같게 놓은 것이 아니라, ‘순허수’라는 조건을 실수부분에만 적용해야 한다는 표시가 빠진 데 있다. 허수부분은 0으로 만들 대상이 아니며, 순허수의 값 자체를 결정하는 부분이다.
조건을 식으로 남기는 풀이 순서
- 곱셈이나 나눗셈을 계산해 실수부분과 허수부분을 분리한다.
- 순허수 조건을 실수부분=0으로 바로 옆에 적는다.
- 허수부분은 별도로 계산해 결과가 실제로 순허수 꼴인지 확인한다.
위 문제에서는 (a+2)+(2-a)i를 얻은 즉시 “순허수 → a+2=0”을 표시한다. 그 뒤 a=-2를 대입해 (-2+2i)(1-i)=4i인지 확인한다. 이처럼 조건의 언어를 해당 부분의 방정식으로 번역해야 실수부분과 허수부분을 뒤섞지 않는다.
조건 표시를 먼저 시작하는지 확인하기
연습지에는 ‘순허수’, ‘실수부분’, ‘허수부분 계산’, ‘주어진 복소수식’의 정보가 풀이 순서와 다르게 섞여 제시된다. 이때 학생이 공식부터 적는지, 아니면 먼저 순허수 → 실수부분=0이라는 조건을 표시하는지를 본다.
실수 b에 대하여 다음 복소수가 순허수가 되도록 하자.
(b-3i)(2+i)
전개하면
(b-3i)(2+i)=2b+bi-6i-3i2=(2b+3)+(b-6)i
순허수 조건을 먼저 연결하면 2b+3=0이므로 b=-3/2이다. 실제 대입 결과는
(-3/2-3i)(2+i)=-3i-6i=-9i
가 되어 조건을 만족한다. 새로운 식에서도 학생이 실수부와 허수부를 나누어 적고, 풀이 시작 전에 실수부를 0으로 둔 표시를 남겼다면 이전 오답을 독립적으로 수정한 것으로 판단할 수 있다.