신설동 고3 수학과외에서 다룬 삼각함수 곱의 미분
신설동의 대광고등학교 학생은 방과후 이동 뒤 확보한 자습시간에 삼각함수 미분 문제를 다시 풀었다. 동대문구의 다른 고등학교에 다니는 학생들과도 풀이를 비교할 수 있지만, 학교별 출제경향을 단정하지 않고 자신의 계산 과정을 점검하는 데 집중했다.
곱을 미분할 때 빠뜨린 항
학생이 처음 푼 문제는 다음과 같았다.
함수 \(f(x)=\sin x\cos x\)의 도함수를 구하여라. 단, \(x\)는 라디안 단위이다.
학생은 삼각함수 부분을 각각 미분한 뒤 곱해야 한다고 생각하여 다음과 같이 적었다.
\(f'(x)=\cos x\cdot(-\sin x)=-\sin x\cos x\)
이 식은 오답이다. 곱의 미분에서는 두 인자의 도함수를 서로 곱하는 것이 아니라, 한 인자를 미분한 항과 다른 인자를 그대로 둔 항을 더해야 한다.
곱의 미분법을 적용하면
\[ f'(x)=(\sin x)'\cos x+\sin x(\cos x)' \]
\[ =\cos x\cos x+\sin x(-\sin x) =\cos^2x-\sin^2x =\cos 2x \]
따라서 정확한 도함수는 \(f'(x)=\cos 2x\)이다. 학생의 식 \(-\sin x\cos x\)는 두 도함수를 곱한 결과라서 원래 함수의 곱 구조를 보존하지 못한다.
오류 표시부터 검산까지
- 틀린 줄 표시: \((\sin x)'(\cos x)'\)로 두 도함수를 곱한 부분에 밑줄을 그었다.
- 조건 확인: 함수가 \(u(x)v(x)\) 꼴인지 확인하고, \(u'v+uv'\)를 적용해야 함을 적었다.
- 식 수정: \(\cos x(-\sin x)\)만 남긴 식을 지우고 \(\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)\)로 교체했다.
- 대입 검산: \(x=0\)에서 원래 함수의 변화율은 \(\cos^2 0-\sin^2 0=1\)이다. 잘못된 식은 \(0\)을 내므로 오답임을 확인했다.
- 구조 검산: \(\sin x\cos x=\frac12\sin 2x\)로 바꾸면 미분 결과가 \(\cos 2x\)가 되어 같은 답을 얻는다.
각의 단위와 주기도 함께 확인하기
라디안에서는 \((\sin x)'=\cos x\), \((\cos x)'=-\sin x\)가 성립한다. 또한 \(f(x)=\frac12\sin 2x\)이므로 원래 함수의 주기는 \(\pi\), 도함수 \(\cos 2x\)의 주기도 \(\pi\)이다. 학생은 각의 단위를 확인하지 않은 채 공식을 적용하지 않도록 문제 첫 줄에 ‘라디안’을 표시했다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 식을 반복하지 않고 다음 문제로 확인했다.
\(g(t)=2\sin(3t)\cos(2t)\)일 때 \(g'(t)\)를 구하여라. 단, \(t\)는 라디안 단위이다.
곱의 미분법과 합성함수의 미분법을 함께 적용하면
\[ g'(t)=2\{3\cos(3t)\cos(2t)-2\sin(3t)\sin(2t)\} \]
\[ =6\cos(3t)\cos(2t)-4\sin(3t)\sin(2t) \]
학생은 중간에 가능한 후보였던 \(6\cos(3t)\cos(2t)\)만 남기지 않고, 두 번째 항 \(-4\sin(3t)\sin(2t)\)까지 유지했다. \(t=0\)을 대입하면 \(g'(0)=6\)이므로 첫 항만 남긴 후보와도 우연히 같지만, \(t=\frac{\pi}{6}\)에서는 두 번째 항이 \( -4\cdot1\cdot\frac{\sqrt3}{2}=-2\sqrt3\)가 되어 누락할 수 없음을 확인했다.