답십리고2수학과외

답십리 고2수학과외에서 확인한 로그함수와 역함수의 대칭

답십리동에서 통학하며 학교 프린트와 시험 대비 문제를 함께 정리하다 보면, 로그함수와 지수함수를 서로 역함수로 연결하는 순간 풀이가 흔들리는 경우가 있다. 동대문구 내 학교의 자료를 참고해 변형문제를 살펴보던 중에도 계수와 이동값이 달라지자 점근선과 증가성을 다시 확인하지 않고 기존 풀이를 옮겨 적는 장면이 나타났다.

점 (3, 4)를 뒤집어 읽은 풀이

기본 관계부터 확인해 보자.

y = log₂x와 y = 2^x는 서로 역함수이므로 그래프는 직선 y = x에 대칭이다. 따라서 로그함수 위의 점 (2, 1)은 지수함수 위에서 (1, 2)가 된다.

변형된 함수

f(x) = log₂(x - 1) + 3

에서는 x - 1 > 0이므로 정의역은 x > 1이고, 점근선은 x = 1이다. 밑이 2보다 크므로 함수는 증가한다.

여기서 x = 3을 대입하면

f(3) = log₂2 + 3 = 4

이므로 로그함수 위의 점은 (3, 4)이다. 역함수의 대응점은 좌표를 바꾼 (4, 3)이어야 한다.

그런데 풀이 과정에서 (3, 4)를 그대로 역함수 위의 점이라고 적으면 대칭의 의미를 잃는다. 이 함수의 역함수는

y = 2^{x - 3} + 1

이고, 실제로 x = 4일 때 y = 2¹ + 1 = 3이므로 (4, 3)이 맞다.

식이 바뀌면 점근선도 함께 다시 세우기

역함수 관계는 식의 모양만 보고 판단하지 않는다. 원래 함수의 정의역과 치역이 뒤바뀌며, 점근선의 방향도 달라진다.

• f(x) = log₂(x - 1) + 3: 정의역 x > 1, 치역 전체 실수, 점근선 x = 1
• f^-1(x) = 2^{x - 3} + 1: 정의역 전체 실수, 치역 y > 1, 점근선 y = 1

두 함수 모두 증가하지만, 로그함수의 세로 점근선 x = 1은 역함수에서 가로 점근선 y = 1로 바뀐다. 따라서 “대칭이므로 점근선도 같은 식”이라고 쓰는 것은 잘못이다.

부호가 바뀐 경우에는 단조성부터 판별한다

다음 함수는 앞의 함수와 다르다.

g(x) = -log₂(x + 2) + 1

진수 조건에서 x + 2 > 0이므로 정의역은 x > -2이다. 밑이 2인 로그함수는 증가하지만 앞에 음수가 붙었으므로 g(x)는 감소한다. 점근선은 x = -2이다.

y = -log₂(x + 2) + 1에서 y - 1 = -log₂(x + 2)이므로

-y + 1 = log₂(x + 2)

따라서 역함수는

g^-1(x) = 2^{1 - x} - 2

이다. 원래 함수가 감소하므로 역함수도 감소한다. 부호를 무시하고 증가한다고 판단하면 그래프의 방향과 역함수의 형태가 모두 어긋난다.

숫자를 바꾼 뒤에도 좌표 교환을 유지하는지 확인

마지막으로 h(x) = log₃(x - 2) + 1을 점검한다. 정의역은 x > 2, 점근선은 x = 2, 밑이 3보다 크므로 증가한다.

h(5) = log₃3 + 1 = 2이므로 대응점은 (5, 2)이다. 역함수는

h^-1(x) = 3^{x - 1} + 2

이고 h^-1(2) = 3이므로 (2, 5)가 아니라 (2, 5)가 아니라는 혼동을 피해야 한다. 정확히는 원래 점 (5, 2)의 좌표를 바꾼 (2, 5)가 역함수 위의 점이며, 식에 대입하면 h^-1(2) = 3¹ + 2 = 5이다.

이처럼 새 문제에서는 밑, 이동값, 부호가 달라져도 정의역과 점근선을 먼저 적고, 증가·감소를 확인한 뒤 대응점의 좌표를 바꿔야 한다.