합성된 삼각함수에서 빠진 연쇄법칙 찾기
답십리동에서 동대문구 통학권의 고등학교로 이동하는 고3 학생은 학교 일정과 과제량이 늘면서 풀이를 빠르게 끝내려는 습관이 생겼다. 특히 숫자와 계수가 바뀐 삼각함수 문제에서 이전 풀이 순서를 그대로 적용하다가, 안쪽 함수의 변화를 확인하지 않는 실수가 반복됐다.
분수식 안쪽 함수의 미분을 누락한 오답
다음 함수를 미분한다고 하자.
y = cos(g(x)), g(x) = (2x - 1)/(x + 3)
학생은 먼저 바깥 함수만 미분해 다음과 같이 적었다.
y' = -sin(g(x))
이 식은 오답이다. cos(g(x))에서 변화하는 것은 x 자체가 아니라 g(x)이므로, 바깥 함수의 미분 뒤에 반드시 g'(x)를 곱해야 한다. 또한 g(x)는 x = -3에서 정의되지 않는다.
조건과 변수 관계를 다시 확인한 수정
오답 줄에 표시한 뒤, 학생은 안쪽 함수와 정의역을 따로 확인했다.
g'(x) = {2(x + 3) - (2x - 1)}/{(x + 3)^2} = 7/(x + 3)^2
따라서 연쇄법칙을 적용하면
y' = -sin((2x - 1)/(x + 3)) · 7/(x + 3)^2, x ≠ -3
로 고쳐야 한다. 학생은 x = 0을 대입해 g(0) = -1/3, g'(0) = 7/9임을 확인하고, 미분값이 7sin(1/3)/9가 되는지 원래 식과 수정식을 각각 계산했다. x = 1에서도 g(1) = 1/4, g'(1) = 7/16을 대입해 안쪽 함수의 변화율이 실제 결과에 포함되는지 대조했다.
새 조건으로 독립 검증하기
직전 문제를 보지 않고 다음 변형을 풀었다.
y = sin(h(x)), h(x) = (3x + 2)/(x - 1)
정의역의 경계는 x = 1이며, 수직선에 x = 1을 표시한 뒤 구간을 나누어 식을 확인했다.
h'(x) = {3(x - 1) - (3x + 2)}/{(x - 1)^2} = -5/(x - 1)^2
그러므로
y' = cos((3x + 2)/(x - 1)) · {-5/(x - 1)^2}, x ≠ 1
이다. x = 2를 대입하면 h(2) = 8, h'(2) = -5이고, x = 3에서는 h(3) = 11/2, h'(3) = -5/4이다. 두 값을 계산 결과와 그래프의 변화 방향에 대조하면서, 분수식의 부호와 정의역 경계를 빠뜨리지 않았는지 검산했다.