답십리 고1수학과외, 실수와 복소수의 포함관계 읽기
답십리동에서 학교와 귀가 후 학습 시간을 함께 조정할 때, 복소수 단원에서는 계산 속도보다 기호의 의미를 정확히 읽는 습관이 먼저 필요하다. 동대문구 내 통학권 학교의 프린트나 교과서 문제를 풀 때도 실수는 허수부분이 0인 복소수라는 관계를 풀이의 출발점으로 기록해야 한다.
−4i에서 허수부분은 왜 −4인가
복소수는 보통 a+bi의 꼴로 나타낸다. 여기서 실수부분은 a, 허수부분은 b이다. 따라서
3−4i에서는 실수부분이 3이고 허수부분이 −4이다. i 앞의 계수만 떼어 절댓값으로 읽으면 안 된다.
실수는 허수부분이 0인 복소수이므로 7은 7+0i로 볼 수 있다. 즉 실수 전체는 복소수에 포함된다.
실수 ⊂ 복소수, 실수부분 a와 허수부분 b를 구분하고, i 앞 계수는 부호까지 포함한다.
답안에서 실제로 바뀐 한 줄
수업 중 z=−2+5i의 실수부분과 허수부분을 묻자, 학생은 i 앞의 5만 보고 “허수부분은 5”라고 적었다. 이 경우에는 우연히 맞았지만, 다음 식에서 오류가 드러났다.
w=6−3i
학생의 답안에는 “실수부분 6, 허수부분 3”이라고 적혀 있었다. i 앞 계수의 부호를 따로 확인하지 않고 절댓값처럼 읽은 것이다. 정확한 답은 실수부분 6, 허수부분 −3이다.
풀이를 고친 뒤에도 학생은 실수와 복소수의 포함관계를 기록하지 않았다. 따라서 계산 결과만 수정된 상태이고, 어떤 기준으로 실수부분과 허수부분을 구분했는지는 아직 풀이에 드러나지 않는다.
부호를 포함한 계수 표 만들기
다음과 같이 식을 억지로 계산하지 않고 계수를 분리해 적는다.
- −7+2i → 실수부분 −7, 허수부분 2
- 4−9i → 실수부분 4, 허수부분 −9
- −5 → −5+0i → 실수부분 −5, 허수부분 0
- 8i → 0+8i → 실수부분 0, 허수부분 8
특히 −5처럼 i가 보이지 않는 수를 복소수가 아니라고 판단하면 안 된다. 허수부분이 0인 복소수이며, 이 사실이 바로 실수가 복소수에 포함된다는 뜻이다.
새 조건에서 확인한 판단
연습 식을 u=−11−6i로 바꾸었을 때 학생이 “허수부분은 6”이라고 적으면, 틀린 위치는 계산 전체가 아니라 i 앞 계수의 부호를 지운 줄이다. 올바른 기록은 실수부분 −11, 허수부분 −6이다.
이후 복소수를 좌표처럼 나타내는 문제에서 길이와 각 조건을 바꾸어 제시한다. 예를 들어 복소수 −3−4i를 복소평면의 점으로 표시할 때는 x좌표 −3, y좌표 −4로 읽어야 한다. 학생이 y좌표를 4로 표시했다면 바로 그 좌표 기록 줄을 지목해 수정하게 한다. 정답만 맞히는 것이 아니라 부호를 포함해 허수부분을 적었는지까지 확인한다.
짧은 기록이 개념을 연결한다
답십리 생활권에서 통학과 과제가 겹치는 날에는 긴 풀이보다 다음 한 줄을 먼저 쓰게 하는 방식이 효율적이다.
“실수는 허수부분이 0인 복소수이고, i 앞 계수는 부호까지 허수부분이다.”
그 뒤 식을 a+bi 꼴과 비교하면 −3i를 3i로 바꾸는 오류를 스스로 발견할 수 있다. 이 문장이 빠졌다면 맞힌 문제라도 개념 적용 확인을 다시 남긴다.