도봉구고2수학과외, 로그함수의 밑이 바뀌면 그래프를 다시 읽는 법
도봉동·방학동·쌍문동·창동처럼 학교와 주거지의 거리에 따라 귀가 후 공부 시간이 달라지는 생활권에서는 짧은 풀이에서도 핵심 판단을 남기는 연습이 필요하다. 로그함수는 밑만 보고 그래프를 그리는 것이 아니라 밑의 범위, 평행이동, 계수의 부호를 함께 해석해야 한다.
잘못 그린 그래프에서 시작된 혼동
문제에서 y=log1/2x의 그래프를 그리게 하자, 답안에는 점근선 x=0은 표시했지만 증가함수로 그린 그림이 남았다. 밑이 1보다 크면 증가하고, 0보다 크고 1보다 작으면 감소한다는 기준이 식의 표현이 바뀌는 순간 적용되지 않은 것이다.
실제로 x=1/2일 때 y=1이고, x=2일 때 y=-1이다. x가 커질수록 y가 작아지므로 y=log1/2x는 감소함수다. 정의역은 x>0, 치역은 모든 실수이며, 세로점근선은 x=0이다.
계수와 평행이동까지 함께 읽기
다음 함수를 살펴보자.
f(x)=-2log1/2(x-3)+1
먼저 진수 조건에서 x-3>0이므로 정의역은 x>3이다. 따라서 세로점근선은 x=3이다.
log1/2x는 감소함수인데 앞에 -2를 곱했으므로 함수의 증감은 뒤집힌다. 따라서 f(x)는 증가함수다. 답안에는 다음 판단을 순서대로 남긴다.
- 진수 조건: x-3>0
- 점근선: x=3
- 밑 1/2: 기본 로그함수는 감소
- 계수 -2: 감소를 다시 반전
- 결론: f(x)는 증가
예를 들어 x=4이면 f(4)=1, x=5이면 f(5)=3이다. 실제 값도 x가 증가할 때 함수값이 증가한다는 결론과 일치한다.
오류가 시작된 줄부터 이어서 고치기
처음부터 식을 다시 베끼는 대신, 학생이 “밑이 1/2이므로 증가”라고 판단한 줄에 밑의 범위를 표시한다. 0<1/2<1이므로 log1/2x는 감소라고 적고, 그다음 계수의 부호가 그래프의 방향을 한 번 더 바꾸는지 확인한다. 함수가 log1/2(x-3)처럼 안쪽이 이동했다면 점근선도 x=0에서 x=3으로 이동했음을 함께 기록한다.
조건이 서로 충돌하는 식에서 해를 제거하기
새 조건에서도 같은 판단이 유지되는지 다음 식으로 확인한다.
log1/2(x-1)=log1/2(1-x)
양변의 밑은 조건을 만족하지만, 두 로그가 동시에 정의되려면
x-1>0과 1-x>0
을 모두 만족해야 한다. 즉 x>1과 x<1을 동시에 요구하므로 가능한 x가 없다. 따라서 밑의 감소 여부를 따지기 전에 정의역에서 모든 후보가 제거되어 해는 없다.
도봉구의 학교별 통학 거리와 생활 리듬이 다르더라도, 변형된 로그함수에서 밑의 범위, 점근선, 계수의 부호, 진수 조건을 답안에 직접 남기는 습관이 자리 잡으면 그래프와 방정식 모두에서 같은 수학적 판단을 이어갈 수 있다.