도봉구 고3 수학과외: 표로 바뀐 삼각함수 미분에서 합성 구조 확인하기
창동고등학교, 정의여자고등학교, 누원고등학교 등이 있는 도봉구에서는 학교와 도봉동·방학동·쌍문동·창동의 주거지 사이 거리에 따라 공부 시간이 달라질 수 있다. 이 학생은 이동 후 짧은 시간에도 표와 식의 구조를 연결하는 연습을 이어 갔다.
앞 문제의 결론을 그대로 옮긴 오답
학생은 식이 아니라 함수값과 입력값을 표로 제시한 문제에서 다음 함수를 미분했다.
f(x)=cos(x2+1)
답안에는 다음과 같이 적었다.
f′(x)=-sin(x2+1)
이 식은 오답이다. 바깥 함수 cos u의 미분 결과가 -sin u라는 사실만 적용하고, 안쪽 함수 u=x2+1의 미분 결과인 u′=2x를 빠뜨렸다. 합성함수의 미분은 바깥 함수의 도함수에 안쪽 함수의 도함수를 곱해야 하므로 정확한 식은 다음과 같다.
f′(x)=-sin(x2+1)·2x=-2xsin(x2+1)
네모칸에 구조와 허용 범위를 먼저 기록하기
풀이를 다시 할 때 학생은 표의 값만 보고 이전 예제와 같다고 판단하지 않고, 네모칸에 다음 세 항목을 적었다.
- 바깥 함수: cos u
- 안쪽 함수: u=x2+1
- 허용 범위: 표에 제시된 x값의 범위 안에서만 계산
그다음 출발식을 역계산하듯 복원했다. cos의 입력이 단순한 x가 아니라 x2+1이므로, 입력의 변화율 2x를 반드시 곱해야 한다.
cos u → -sin u, u=x2+1 → u′=2x
따라서 f′(x)=-2xsin(x2+1)로 수정했다. x=1을 대입하면 수정식은 -2sin2가 되고, 오답식은 -sin2가 되어 두 결과가 다르다는 것도 확인했다. 특히 x=0에서는 수정한 도함수가 0이므로, 원함수의 안쪽 입력 x2+1이 x=0 근처에서 순간적으로 변하지 않는다는 조건과도 맞는다.
주기와 계수를 바꾼 독립 검증
같은 식을 반복하지 않고 다음 문제로 절차를 확인했다.
g(x)=cos(3x-π/4), 0≤x≤π
안쪽 함수를 v=3x-π/4로 두면 v′=3이다. 따라서
g′(x)=-3sin(3x-π/4)
이번에는 x=π/12를 대입했다.
g′(π/12)=-3sin(π/4)=-3√2/2
계수 3을 빠뜨린 -sin(3x-π/4)는 이 값의 3분의 1이므로 오답이다. 학생은 마지막에 원래 조건인 주기 변화와 x의 범위를 다시 대조하고, 바깥 미분 뒤 안쪽 미분을 곱했는지 확인하는 방식으로 변형문제의 전이 적용을 점검했다.