도봉구고1수학과외, 복소수의 실수부분·허수부분 비교하기
복소수 등식은 전체 모양을 한꺼번에 바라보는 대신 실수부분과 허수부분을 나누어 비교해야 한다. 도봉동이나 창동처럼 학교와 주거지 사이 이동 시간이 다른 생활권에서는 짧은 학습 시간에 풀이의 첫 판단을 정확히 세우는 연습이 특히 중요하다.
한 줄에 섞여 있던 두 조건
학교 프린트에 다음 식이 제시되었다.
(2x-3)+(y+4)i=5+(2y-1)i
왼쪽과 오른쪽의 복소수가 같으려면 실수부분끼리, 허수부분끼리 각각 같아야 한다. 따라서
2x-3=5, y+4=2y-1
이고, 이를 풀면 x=4, y=5이다.
그런데 이 문제를 푼 학생의 답안에는 실수부분에서 나온 2x-3=5만 적혀 있었고, 곧바로 x=4를 답으로 적었다. 허수부분에 붙은 계수인 y+4와 2y-1은 비교하지 않았다. 이는 계산 실수라기보다 복소수의 같음이 두 개의 조건으로 이루어진다는 판단이 풀이에 나타나지 않은 경우다.
복소수의 같음은 두 개의 등식으로 나뉜다
일반적으로
a+bi=c+di
에서 a,b,c,d가 실수라면 두 복소수가 같을 조건은
a=c, b=d
이다. 여기서 a=c는 실수부분의 비교이고, b=d는 허수부분의 비교다. 허수단위 i가 양쪽에 모두 있다고 해서 식 전체를 한 번만 비교하는 것이 아니다. i 앞의 계수끼리 따로 맞춰야 한다.
따라서 풀이를 시작할 때 식을 다음처럼 세로로 표시하면 판단이 분명해진다.
- 실수부분: 2x-3와 5
- 허수부분: y+4와 2y-1
오답을 정답으로 덮지 않는 수정 과정
오답을 고칠 때 학생에게 답 x=4를 다시 쓰게 하는 데 그치지 않고, 원래 등식의 양쪽을 두 줄로 분해하게 했다.
(2x-3)+(y+4)i=5+(2y-1)i
실수부분 비교: 2x-3=5 → x=4
허수부분 비교: y+4=2y-1 → y=5
이제 x=4, y=5를 원래 식에 대입하면 왼쪽은
(8-3)+(5+4)i=5+9i
오른쪽은
5+(10-1)i=5+9i
로 일치한다. 오답노트에는 긴 해설 대신 “실수부분과 허수부분을 따로 표시한다”라는 바뀐 행동을 남긴다. 이 표시가 있어야 두 번째 조건을 빠뜨렸는지 풀이 중간에 바로 확인할 수 있다.
표현이 달라져도 같은 성질을 찾는지 확인하기
다음 문제는 앞의 식과 모양을 바꾸어 제시한다.
(m-1)+(2n+3)i=4+(n+9)i
학생이 먼저 실수부분과 허수부분을 구분하면
m-1=4, 2n+3=n+9
을 세울 수 있다. 따라서 m=5, n=6이다. 실제 대입 결과는 양쪽 모두 4+15i가 된다.
이번에는 교과서의 “복소수가 서로 같을 조건”이라는 표현 대신 학교 프린트의 “양변의 계수를 비교하라”는 표현을 사용해도 같은 성질을 찾아내는지 본다. 숫자와 문자가 달라졌는데도 두 부분을 분리해 두 등식을 세웠다면, 이전 답을 외운 것이 아니라 비교 원리를 연결한 것이다.
짧은 귀가 시간에 남길 풀이 흔적
도봉역 주변이나 도봉파크빌2단지처럼 귀가 동선에 따라 확보되는 시간이 다른 학생이라면 한 문제를 길게 반복하기보다, 복소수 등식 옆에 실수부분 | 허수부분을 표시하는 습관을 먼저 점검할 수 있다. 창동고등학교, 정의여자고등학교, 누원고등학교 등 학교가 달라도 프린트의 표현이 바뀌었을 뿐 복소수의 같음은 두 부분의 같음으로 판단한다는 점은 변하지 않는다.
새 문제에서 실수부분과 허수부분을 스스로 분리하고 각각의 등식을 세운 뒤 대입 검산까지 했다면, 두 복소수가 같을 조건을 실제 풀이에 적용한 것으로 판단한다.