점 (2, 1)을 바꾸지 않으면 대칭이 성립하지 않는다
창동고등학교, 자운고등학교, 서울외국어고등학교처럼 학교별 일정과 프린트 진도가 다를 수 있는 창동의 고2수학과외에서는 역함수 문제를 계산 속도보다 정의역과 치역의 대응으로 확인한다. 창동주공1단지와 창동주공3단지 등 생활권에서 통학하는 학생도 주간 학습 시간이 다르므로, 한 문제를 풀 때 어떤 조건을 먼저 확인했는지가 중요하다.
문제는 다음과 같다.
함수 \(y=\log_2 x\)의 역함수와 두 그래프의 대칭 관계를 설명하고, \(y=\log_2 x\) 위의 점 \((2,1)\)에 대응하는 역함수 위의 점을 구하여라.
역함수의 식보다 먼저 확인할 정의역과 치역
\(y=\log_2 x\)에서는 밑 조건 \(2>0,\ 2\ne1\)이 만족되고, 진수 조건에 따라 \(x>0\)이다. 따라서 정의역은 \(x>0\), 치역은 모든 실수이다.
식에서 \(x\)와 \(y\)를 바꾸면
\[ x=\log_2 y \quad\Longleftrightarrow\quad y=2^x \]
이므로 역함수는 \(y=2^x\)이다. 이 함수의 정의역은 모든 실수이고 치역은 \(y>0\)이다. 원래 함수의 정의역과 역함수의 치역, 원래 함수의 치역과 역함수의 정의역이 서로 대응한다.
잘못 바꾸지 않은 좌표가 만든 오류
풀이 첫 줄에 학생이 \(y=\log_2x\)와 \(y=2^x\)의 대응점을 모두 \((2,1)\)로 적었다. 그러나 \((2,1)\)은 \(y=\log_2x\) 위의 점이다. 역함수 그래프에서는 좌표를 바꾼 \((1,2)\)가 대응점이다.
실제로 \(2=\log_2 1\)은 거짓이지만, \(2^1=2\)는 참이다. 두 그래프가 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이라는 말은 같은 좌표를 공유한다는 뜻이 아니라, 모든 점 \((a,b)\)가 \((b,a)\)로 이동한다는 뜻이다.
범위를 제한하면 대칭 관계도 함께 제한된다
함수 \(f(x)=\log_2x\)를 \(1\le x\le4\)에서만 보자. 이때
\[ 0\le f(x)\le2 \]
이므로 원래 함수의 그래프는 \(1\le x\le4\), \(0\le y\le2\)인 부분만 포함한다. 역함수 그래프는 \(y=2^x\)의 \(0\le x\le2\), \(1\le y\le4\)인 부분이며, 두 부분은 \(y=x\)에 대해 대칭이다.
따라서 역함수 관계를 적용할 때는 식만 바꾸지 않고 원래 정의역과 치역을 함께 뒤집어 적어야 한다.
오류 유형을 하나만 골라 다시 읽는 훈련
비슷한 오답이 나오면 조건·부호·범위·공식 중 하나만 선택해 점검한다. 이 문제에서 선택할 항목은 범위이다.
답안 여백에 다음 세 줄을 먼저 쓴다.
\[ f:\quad \text{정의역 }(0,\infty),\ \text{치역 }\mathbb R \]
\[ f^{-1}:\quad \text{정의역 }\mathbb R,\ \text{치역 }(0,\infty) \]
\[ (a,b)\longmapsto(b,a) \]
그 뒤 \((2,1)\)을 \((1,2)\)로 바꾸고, \(2^1=2\)를 대입해 대응을 확인한다.
더 좁은 구간에서 조건과 답의 교집합 확인하기
마지막으로 \(y=\log_2x\)를 \(2\le x\le4\)에서 제한했을 때, 점 \((4,2)\)에 대응하는 역함수 위의 점을 구한다.
원래 점은 \(4=\log_2 16\)이 아니라 \(2=\log_2 4\)이므로, \(x=4\)일 때의 점은 \((4,2)\)이다. 좌표를 바꾸면 역함수 위의 대응점은 \((2,4)\)이다. 제한된 원래 정의역 \(2\le x\le4\)의 치역은 \(1\le y\le2\)이고, 역함수에서는 \(1\le x\le2\), \(2\le y\le4\)가 된다.
학생이 식 \(y=2^x\)만 쓰는 데서 멈추지 않고, 새 범위의 교집합을 혼자 구해 \((2,4)\)를 조건과 함께 제시한다면 대칭과 역함수 관계를 계산이 아닌 대응으로 적용한 것이다.