창동고1수학과외, 켤레복소수로 분모를 실수로 바꾸는 과정
창동고등학교와 자운고등학교, 서울외국어고등학교처럼 학교별 내신 일정이 다를 수 있는 창동 생활권에서는 복소수 계산도 풀이 과정을 짧게 기록해 두는 습관이 필요하다. 특히 분모에 복소수가 있을 때는 부호를 바꾸는 것보다 왜 켤레복소수를 곱하는지를 식으로 확인해야 한다.
부호만 바꾼 식은 아직 같은 분수가 아니다
학교 프린트에서 다음 식을 계산하던 학생의 풀이에는 분모만 바꾼 흔적이 있었다.
(3+2i)/(1-4i) = (3+2i)/(1+4i)
학생은 분모 \(1-4i\)의 허수부 부호를 바꾸었지만, 분자에는 아무것도 곱하지 않았다. 이는 원래 분수에 어떤 수를 곱한 것이 아니므로 같은 값이라고 볼 수 없다. 켤레복소수 \(1+4i\)를 사용할 때에는 분자와 분모에 모두 곱해야 한다.
분모가 실수가 되는 이유를 계산으로 확인하기
\(1-4i\)의 켤레복소수는 \(1+4i\)이다. 따라서
(3+2i)/(1-4i) × (1+4i)/(1+4i)
로 바꾼다. 분모는
(1-4i)(1+4i)=1-(4i)²=1-16i²=17
이므로 실수가 된다. 분자는
(3+2i)(1+4i)=3+12i+2i+8i²=-5+14i
이다. 그러므로 결과는
(-5+14i)/17 = -5/17 + 14/17i
가 된다. 켤레를 곱하는 목적은 분모의 허수항을 없애는 것이며, 그 과정에서 분자도 같은 수만큼 변해야 원래 분수의 값이 유지된다.
여백에 남겨야 할 두 가지 표시
이 학생에게는 계산 전에 여백에 다음 두 항목을 적게 했다.
- 분모: \(a+bi\)인지 확인하고 켤레 \(a-bi\)를 정한다.
- 분자와 분모에 같은 켤레를 곱한 뒤 분모가 실수인지 확인한다.
예를 들어 \((5-i)/(2+3i)\)에서는 켤레가 \(2-3i\)이다. 분모는 \(2^2+3^2=13\)이 되고, 분자는
(5-i)(2-3i)=10-15i-2i+3i²=7-17i
이므로 결과는 \((7-17i)/13\)이다. 켤레의 부호만 적고 분자에 곱하지 않는다면 이 계산에 도달할 수 없다.
수치가 바뀐 식에서 과정이 유지되는지 확인
같은 식을 즉시 반복하지 않고 \((4+3i)/(3-2i)\)를 제시했다. 학생이 \(3+2i\)를 분모의 켤레로 정한 뒤 분자와 분모에 모두 곱하는지 살폈다.
분모는
(3-2i)(3+2i)=9+4=13
이고, 분자는
(4+3i)(3+2i)=12+8i+9i+6i²=6+17i
이므로 답은 \((6+17i)/13\)이다. 여기서도 분모가 실수인지 확인하고 나서 계산을 마치면, 켤레를 단순한 부호 변경으로 외운 상태와 구별할 수 있다.
표의 단위가 바뀌어도 관계를 먼저 판별하기
검증 단계에서는 복소수 식 대신 표의 단위가 바뀐 자료를 사용했다. 예를 들어 정사각형의 한 변의 길이 \(x\)cm와 둘레 \(P\)cm가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
- 한 변 \(x\): 0.5, 1, 1.5
- 둘레 \(P\): 2, 4, 6
\(P/x\)가 각각 \(4,4,4\)로 일정하므로 \(P=4x\), 즉 정비례이다. 표의 단위를 m와 m로 바꾸어도 \(P=4x\)라는 관계는 변하지 않는다. 반대로 넓이가 \(12\text{m}^2\)로 일정한 직사각형에서 가로 \(x\)와 세로 \(y\)를 비교하면 \(xy=12\)이므로 \(y=12/x\), 반비례이다.
표에 포함된 단위나 부수적인 설명에 끌려가지 않고 변화 관계를 식으로 옮긴 뒤 정비례인지 반비례인지 결정하는지 확인했다. 이는 켤레복소수 문제에서도 겉으로 보이는 부호가 아니라 분자·분모에 같은 수를 곱하는 관계를 먼저 보는 훈련과 이어진다.