창동 고3 수학과외에서 확인한 삼각함수 미분의 핵심
창동고등학교, 자운고등학교, 서울외국어고등학교처럼 창동 지역의 학교가 다르고, 창동주공1단지와 창동주공3단지 등 생활권에 따라 학생의 주간 일정도 달라질 수 있다. 그래서 수업에서는 학교를 하나의 성향으로 묶기보다, 학생이 실제 답안에서 어떤 조건을 놓치는지 먼저 확인했다.
합성함수에서 빠진 미분계수
학생은 다음 함수를 미분하는 과정에서 안쪽 함수의 변화율을 빠뜨렸다.
문제: \(f(x)=\sin(3x^2-2x)\)일 때 \(f'(1)\)을 구하여라. 단, 각의 단위는 라디안이다.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
\(f'(x)=\cos(3x^2-2x)\)
\(f'(1)=\cos 1\)
이 식은 오답이다. \(\sin(g(x))\)를 미분하면 바깥 함수의 미분 결과인 \(\cos(g(x))\)에 안쪽 함수의 도함수 \(g'(x)\)를 곱해야 한다. 여기서 \(g(x)=3x^2-2x\)이므로 \(g'(x)=6x-2\)이다.
따라서 정확한 식은
\[ f'(x)=(6x-2)\cos(3x^2-2x) \]
이고, \(x=1\)을 대입하면
\[ f'(1)=(6-2)\cos(3-2)=4\cos 1 \]
이다. 학생은 계산을 다시 하기보다 먼저 바깥 함수의 변화율과 안쪽 각의 변화율을 분리했는가를 확인해야 했다.
주기와 각의 단위를 먼저 고정하기
삼각함수의 미분 공식은 라디안에서 성립한다.
\[ \frac{d}{dx}\sin x=\cos x \]
만약 각을 도 단위로 표시한다면 변환계수가 필요하다. 예를 들어 \(y=\sin(30x^\circ)\)를 라디안으로 바꾸면
\[ y=\sin\left(\frac{\pi}{6}x\right) \]
이므로
\[ y'=\frac{\pi}{6}\cos\left(\frac{\pi}{6}x\right) \]
가 된다. 학생은 문제를 풀기 전 각의 단위와 안쪽 각 \(g(x)\)를 표시하고, 주어진 조건만으로 함수의 변화율을 결정할 수 있는지도 확인하는 습관이 필요하다. 예를 들어 \(g(1)=2\)만 주어졌다면 \(\sin(g(x))\)의 \(x=1\)에서의 미분값은 부족하다. \(g'(1)\)까지 알아야
\[ \left.\frac{d}{dx}\sin(g(x))\right|_{x=1} =g'(1)\cos(g(1)) \]
을 계산할 수 있다.
틀린 줄을 고친 뒤 원조건으로 검산하기
- 틀린 줄 표시: \(\sin(g(x))\)를 \(\cos(g(x))\)로만 바꾼 부분에 밑줄을 긋는다.
- 관계 확인: \(g(x)=3x^2-2x\), \(g'(x)=6x-2\)를 나란히 적는다.
- 식 수정: \(f'(x)=\cos(g(x))\)를 \(f'(x)=g'(x)\cos(g(x))\)로 고친다.
- 재대입: \(x=1\)을 원래 함수의 안쪽 식과 도함수에 각각 대입하여 \(4\cos1\)을 얻는다.
이후 \(x=1+h\)에서의 평균변화율이 \(h\to0\)일 때 \(4\cos1\)에 가까워지는지 계산기로 확인하면, 단순히 공식을 외운 것이 아니라 안쪽 각의 변화가 최종 기울기에 반영되었는지 점검할 수 있다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않기 위해 다음 문제를 새로 제시했다.
검증 문제: \(F(x)=\cos(5x^2+x)\)일 때 \(F'(0)\)을 구하여라.
이번에는 \(g(x)=5x^2+x\), \(g'(x)=10x+1\)이므로
\[ F'(x)=-(10x+1)\sin(5x^2+x) \]
이다. 따라서
\[ F'(0)=-(1)\sin0=0 \]
이다. 학생은 부호가 음수로 바뀌는 점과 안쪽 미분계수 \(10x+1\)을 모두 확인해 정답 \(0\)을 얻었다. 계수와 삼각함수를 바꾼 뒤에도 주기, 라디안 단위, 안쪽 함수의 변화율을 연결하면 합성함수 미분을 안정적으로 검산할 수 있다.