쌍문동고2수학과외, 로그함수 평행이동을 식의 모양이 바뀌어도 읽는 연습
쌍문동의 정의여자고등학교·효문고등학교·선덕고등학교·세그루패션디자인고등학교와 같은 지역에서 고2 수학을 준비할 때는 귀가 후 과제량에 맞춰 풀이 절차를 줄이는 것보다, 식의 위치가 달라졌을 때 무엇이 이동을 결정하는지 확인하는 과정이 중요하다. 쌍문동성원아파트와 쌍문동청구아파트 생활권에서 학교 프린트와 지필평가 문제를 이어서 풀 때도 같은 판단이 필요하다.
y=log₂(x+3)에서 점근선을 x=3으로 쓴 이유
계산 흔적에는 다음과 같은 문장이 남아 있었다.
y=log₂(x+3)의 점근선은 x=3이다.
이 식에서 로그의 진수는 0이 될 때 경계에 도달한다.
x+3=0 ⟹ x=-3
따라서 수직점근선은 x=-3이고, 정의역은 x>-3이다. 밑이 2이므로 기본 로그함수는 증가하며, 앞에 별도의 음수 계수가 없으므로 y=log₂(x+3)도 증가한다. x+3에서 +3을 보고 점근선을 x=3으로 바꿔 쓴 것은 평행이동의 방향을 반대로 읽은 오류다.
식의 안쪽과 바깥쪽을 분리해 읽기
로그함수의 평행이동은 기준식을 먼저 정해 두면 혼동이 줄어든다.
y=log₂x를 좌우로 p, 위아래로 q만큼 옮긴 식은
y=log₂(x-p)+q
이다. 여기서 점근선은 x=p, 정의역은 x>p이다. 예를 들어
y=log₂(x-4)+2
에서는 p=4이므로 점근선은 x=4, 정의역은 x>4이다. +2는 그래프를 위로 2만큼 옮기지만 점근선의 x좌표에는 영향을 주지 않는다.
반대로
y=3-log₂(x-4)
에서는 점근선과 정의역은 그대로 x=4, x>4이지만 앞의 마이너스 때문에 함수는 감소한다. 계수의 위치를 보고 점근선, 이동 방향, 증가·감소를 각각 따로 기록해야 한다.
한 줄을 남긴 뒤 누락 조건을 옆에 적기
풀이를 다시 쓸 때는 예제의 계산 순서를 복사하지 않고, 식에서 확인한 조건을 바로 옆에 붙인다.
y=log₂(x+3)
- 진수 조건: x+3>0 ⟹ x>-3
- 점근선: x=-3
- 밑 2>1, 앞 계수 1이므로 증가
이렇게 적으면 x+3의 부호를 보고 점근선을 잘못 정하는 일이 줄어든다. 특히 점근선만 구하고 정의역과 단조성을 생략하지 않아야, 계수와 표현이 바뀐 문제에서도 같은 공식을 기계적으로 적용하지 않게 된다.
앞 계수와 진수의 위치가 바뀐 검증 문항
다음 식을 새로 제시했을 때 앞의 풀이를 그대로 옮기지 않고 필요한 관계를 다시 골라내는지 확인한다.
y=3-log₂(2x-6)
진수 조건은
2x-6>0 ⟹ x>3
이므로 점근선은 x=3이다. 또한 밑은 2이고 로그 앞 계수가 -1이므로 함수는 감소한다. 3은 세로 이동량이며, 진수 안의 2x-6은 단순히 x-3으로 보지 않고 2(x-3)으로 묶어 점근선과 정의역을 판단해야 한다.
검증에서 점근선을 x=3으로 적는 것만으로 끝내지 않고, 2x-6>0과 감소까지 함께 남겼다면 새로운 계수 위치에서도 평행이동과 함수의 변화를 연결해 적용한 것이다.