쌍문동고3수학과외

쌍문동 고3 수학과외에서 확인한 삼각함수 미분의 핵심

쌍문동의 정의여자고등학교, 효문고등학교, 선덕고등학교, 세그루패션디자인고등학교와 도봉구 내 참고 학교인 창동고등학교 학생을 지도할 때는 학교 선택보다 귀가 시각과 과제량, 시험 준비 순서를 함께 점검한다. 이 학생은 계산 속도보다 식의 구조를 확인하는 습관이 아직 불안정해, 최근에는 삼각함수 미분에서 계수의 변화를 놓쳤다.

직전 문제의 숫자를 복사한 오답

학생은 다음 식을 미분했다.

y = tan(x/2)

그러나 풀이에는 다음과 같이 적었다.

y' = sec²(x/2)

이 식은 오답이다. tan의 안쪽 함수가 x가 아니라 x/2이므로, 합성함수의 미분에서 안쪽 미분값 1/2를 곱해야 한다.

u = x/2로 놓으면 y = tan u이고,

dy/dx = (dy/du)(du/dx) = sec²u · 1/2

따라서 y' = 1/2 sec²(x/2)

학생은 경계값만 바뀐 직전 문제의 결과를 그대로 옮기면서 tan의 주기나 sec²의 형태는 기억했지만, 안쪽 함수의 변화율을 확인하지 않았다.

틀린 줄부터 다시 검산하는 과정

• 틀린 줄 표시: y' = sec²(x/2)에서 누락된 계수 1/2에 표시한다.
• 관계 확인: 바깥 함수는 tan u, 안쪽 함수는 u = x/2이므로 du/dx = 1/2임을 적는다.
• 식 수정: y' = sec²(u)·du/dx = 1/2 sec²(x/2)로 고친다.
• 수치 검산: x = 0에서 정확한 도함수값은 1/2이다. 실제로 작은 h에 대해
  (tan(h/2)-tan 0)/h ≈ (h/2)/h = 1/2 이므로 결과와 일치한다.

이처럼 답만 고치는 것이 아니라 문자 메모로 ‘안쪽 함수 미분 누락’이라고 실패 원인을 남기게 했다. 같은 형태의 식을 다시 만났을 때 숫자 배치를 복사하지 않고, 먼저 합성 구조를 분리하는 것이 목적이다.

계수를 바꾼 독립 검증

다음 문제로 같은 공식을 반복하지 않고 구조를 바꾸어 확인했다.

y = tan(3x/2 - π/6)의 도함수를 구하여라.

안쪽 함수를 u = 3x/2 - π/6로 두면 du/dx = 3/2이다. 따라서

y' = sec²u · 3/2

y' = 3/2 sec²(3x/2 - π/6)

x = π/3을 대입하면 안쪽 값은 π/4이므로

y'(π/3) = 3/2 · sec²(π/4) = 3/2 · 2 = 3

새 문제에서는 계수가 1/2에서 3/2로 바뀌고 평행이동 항도 추가되었다. 학생은 바깥 함수의 미분 결과뿐 아니라 안쪽 함수의 계수와 대입값까지 확인해, 합성 구조를 근거로 답을 검증했다.