쌍문동고1수학과외

쌍문동고1수학과외, 켤레복소수의 곱이 분모를 실수로 만드는 원리

쌍문동에서 학교 과제와 시험 준비를 함께 진행할 때는 풀이 절차를 외웠는지보다 그 절차가 왜 가능한지 확인해야 한다. 특히 복소수의 분모를 실수화하는 문제에서는 켤레의 부호만 바꾸는 행동보다, 켤레복소수의 합과 곱이 어떤 값을 만드는지 먼저 살펴야 한다.

부호를 바꾸는 것만으로는 분모가 없어지지 않는다

예를 들어 다음 식을 계산한다고 하자.

1 / (3 + 2i)

분모의 켤레복소수는 3 - 2i이다. 이때 분자와 분모에 모두 같은 수를 곱해야 하므로

1 / (3 + 2i) × (3 - 2i) / (3 - 2i)

로 바꾼다. 분모는

(3 + 2i)(3 - 2i) = 3² + 2² = 13

이 되어 실수가 된다. 따라서 전체 값은 (3 - 2i) / 13이다.

켤레의 합과 곱이 실수가 되는 이유

복소수 a + bi의 켤레는 a - bi이다. 두 수의 합은

(a + bi) + (a - bi) = 2a

로 허수 부분이 사라지고, 곱은

(a + bi)(a - bi) = a² + b²

로 실수가 된다. 여기서 i² = -1을 사용했다. 분모 실수화에서 곱을 이용하는 이유도 바로 이 구조 때문이다.

실제 풀이에서 나타난 빠진 한 줄

수업 자료에서 학생은 2 / (4 - 3i)의 분모 부호를 바꾸어 4 + 3i를 적었지만, 분자에는 곱하지 않고 다음 줄로 넘어갔다. 이는 켤레를 찾은 것과 분모를 실수화한 것을 같은 행동으로 처리한 경우다.

정확한 전개는 다음과 같다.

2 / (4 - 3i) × (4 + 3i) / (4 + 3i)

= 2(4 + 3i) / ((4 - 3i)(4 + 3i))

= (8 + 6i) / (16 + 9) = (8 + 6i) / 25

분자와 분모에 같은 켤레복소수를 곱하지 않으면 원래 분수와 동치인 식이 되지 않는다. 답안에는 적어도 (4 - 3i)(4 + 3i) = 25라는 확인을 남겨, 왜 분모가 실수가 되었는지 드러내도록 한다.

귀가 후 짧은 시간에 확인할 풀이 흔적

쌍문동성원아파트나 쌍문동청구아파트 생활권에서 귀가한 뒤 학교 프린트와 과제를 함께 처리한다면, 한 문제를 끝낸 뒤 정답만 표시하지 않고 다음 두 줄을 확인하는 방식이 효과적이다.

• 분자와 분모에 같은 켤레복소수를 곱했는가?
• 분모의 곱이 a² + b² 형태의 실수가 되었는가?

예를 들어 (5 + i) / (2 - i)에서는 2 + i를 위아래에 곱해야 한다.

(5 + i)(2 + i) = 9 + 7i, (2 - i)(2 + i) = 5

이므로 결과는 (9 + 7i) / 5이다. 이처럼 켤레복소수의 합과 곱을 직접 계산하면 부호를 기계적으로 바꾸는 습관이 줄어든다.

조건이 바뀐 문제에서 절차를 다시 세우기

훈련 여부는 같은 숫자의 문제를 다시 맞혔는지가 아니라, z = 7 - 4i일 때 1/z를 구하는 새 문제에서 확인할 수 있다.

1 / (7 - 4i) × (7 + 4i) / (7 + 4i)

이때 분모는 7² + 4² = 65이므로

1/z = (7 + 4i) / 65

가 된다. 학생이 교사의 질문 없이 켤레를 분자와 분모에 함께 곱하고, 곱의 결과가 실수인지 확인한다면 이전 절차가 유지된 것으로 볼 수 있다.

선행 개념과 현재 문제의 순서 조정

현행 문제와 선행 개념의 순서를 스스로 조정하는지도 함께 살핀다. 좌표값을 바꾼 그래프 문제에서 막혔다면 좌표의 순서와 점의 위치처럼 필요한 초등 개념만 짧게 복구한 뒤, 현재 중1 문제를 처음부터 다시 시작하게 한다. 이때도 풀이를 대신 제시하지 않고, 필요한 개념을 확인한 뒤 스스로 다음 절차를 선택하는지를 본다.